Tìm số nguyên x để x^4+2x^3+2x^2+x+7 là số chính phương

0 bình luận về “Tìm số nguyên x để x^4+2x^3+2x^2+x+7 là số chính phương”

1. Đáp án:

   \(x = 2;\,\,x = – 3\)

   Giải thích các bước giải:

   \(\eqalign{
   & {\left( {{x^2} + x + 3} \right)^2} = {x^4} + {x^2} + 9 + 2{x^3} + 6{x^2} + 6x \cr
   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^4} + 2{x^3} + 7{x^2} + 6x + 9 \cr
   & {\left( {{x^2} + x} \right)^2} = {x^4} + 2{x^3} + {x^2} \cr
   & \Rightarrow {\left( {{x^2} + x + 3} \right)^2} > {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 7 > {\left( {{x^2} + x} \right)^2} \cr
   & {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 7\,\,la\,\,so\,chinh\,\,phuong \cr
   & TH1:\,\,{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 7 = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} \cr
   & \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 7 = {x^4} + {x^2} + 1 + 2{x^3} + 2{x^2} + 2x \cr
   & \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 7 = {x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 1 \cr
   & \Leftrightarrow {x^2} + x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
   x = 2 \hfill \cr
   x = – 3 \hfill \cr} \right.\,\,\left( {tm} \right) \cr
   & TH2:\,\,{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 7 = {\left( {{x^2} + x + 2} \right)^2} \cr
   & \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 7 = {x^4} + {x^2} + 4 + 2{x^3} + 4{x^2} + 4x \cr
   & \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 7 = {x^4} + 2{x^3} + 5{x^2} + 4x + 4 \cr
   & \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = {{ – 1 \pm \sqrt 5 } \over 2}\,\,\left( {ktm} \right) \cr
   & Vay\,\,x = 2;\,\,x = – 3 \cr} \)

   Trả lời