sinx +sin^2 x +sin^3 x +sin^4x = cosx +cos ^2x +cos^3x +cos^4 x 30/07/2021 Bởi Quinn sinx +sin^2 x +sin^3 x +sin^4x = cosx +cos ^2x +cos^3x +cos^4 x
Đáp án: Giải thích các bước giải: (sinx – cosx) + ($sin^{2}x$ – $cos^{2}x$ ) + ($sin^{3}x$ – $cos^{3}x$ ) + ($sin^{4}x$ – $cos^{4}x$ ) = 0 ⇒ (sinx – cosx) + (sinx – cosx)(sinx + cosx) + (sinx – cosx)($sin^{2}x$ + sinxcosx + $cos^{2}x$ ) + ($sin^{2}x$ – $cos^{2}x$ ) = 0 ⇒ (sinx – cosx)( 1+ sinx + cosx + 1 + sinxcosx + sinx + cosx) = 0 ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}sinx=cosx(1)\\2sinx + 2cosx + 2 + sinxcosx = 0(2)\end{array} \right.\) Giải (1): sinx = cosx ⇒ tanx = 1 ⇒ x = $\frac{\pi}{4}$ + k$\pi$ giải(2): 2sinx + 2cosx + 2 + sinxcosx = 0 ⇒ 2(sinx + cosx) + sinxcosx + 2 = 0 đặt sinx + cosx = t ⇔ $\sqrt[]{2}$ .sin(x + $\frac{\pi}{4}$ ) = t ( -$\sqrt[]{2}$ $\leq$ t $\leq$ $\sqrt[]{2}$ ) ⇔ 1 + 2sinxcosx = $t^{2}$ ⇔ sinxcosx = $\frac{t^2 -1}{2}$ ⇒ 2t + 2 + $\frac{t^2 -1}{2}$ = 0 ⇒ 4t + 4 + t² – 1 = 0 ⇒ t² + 4t + 3 = 0 ⇒\(\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-3(L)\end{array} \right.\) ⇒ $\sqrt[]{2}$ sin(x+ $\frac{\pi}{4}$) = -1 ⇒ sin(x + $\frac{\pi}{4}$) = $\frac{-1}{\sqrt[]{2}}$ ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x+ \frac{\pi}{4}= -\frac{\pi}{4} +k2\pi\\x+ \frac{\pi}{4}= \pi + \frac{\pi}{4}+k2\pi \end{array} \right.\) ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=\frac{-\pi}{2}+ k2\pi\\x=\pi + k2\pi\end{array} \right.\) vậy nghiệm của phương trình là x =\(\left[ \begin{array}{l}x=\frac{-\pi}{2}+ k2\pi\\x=\pi+ k2\pi \\ x= \frac{\pi}{4}+k2\pi\end{array} \right.\) (k ∈ Z) Bình luận
Đáp án:
x ∈ {2*pi*k-3*pi/4, 2*pi*k+pi/4, 2*pi*k+pi}, k ∈ Z
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
(sinx – cosx) + ($sin^{2}x$ – $cos^{2}x$ ) + ($sin^{3}x$ – $cos^{3}x$ ) + ($sin^{4}x$ – $cos^{4}x$ ) = 0
⇒ (sinx – cosx) + (sinx – cosx)(sinx + cosx) + (sinx – cosx)($sin^{2}x$ + sinxcosx + $cos^{2}x$ ) + ($sin^{2}x$ – $cos^{2}x$ ) = 0
⇒ (sinx – cosx)( 1+ sinx + cosx + 1 + sinxcosx + sinx + cosx) = 0
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}sinx=cosx(1)\\2sinx + 2cosx + 2 + sinxcosx = 0(2)\end{array} \right.\)
Giải (1): sinx = cosx ⇒ tanx = 1 ⇒ x = $\frac{\pi}{4}$ + k$\pi$
giải(2): 2sinx + 2cosx + 2 + sinxcosx = 0
⇒ 2(sinx + cosx) + sinxcosx + 2 = 0
đặt sinx + cosx = t ⇔ $\sqrt[]{2}$ .sin(x + $\frac{\pi}{4}$ ) = t ( -$\sqrt[]{2}$ $\leq$ t $\leq$ $\sqrt[]{2}$ )
⇔ 1 + 2sinxcosx = $t^{2}$
⇔ sinxcosx = $\frac{t^2 -1}{2}$
⇒ 2t + 2 + $\frac{t^2 -1}{2}$ = 0
⇒ 4t + 4 + t² – 1 = 0
⇒ t² + 4t + 3 = 0
⇒\(\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-3(L)\end{array} \right.\) ⇒ $\sqrt[]{2}$ sin(x+ $\frac{\pi}{4}$) = -1 ⇒ sin(x + $\frac{\pi}{4}$) = $\frac{-1}{\sqrt[]{2}}$ ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x+ \frac{\pi}{4}= -\frac{\pi}{4} +k2\pi\\x+ \frac{\pi}{4}= \pi + \frac{\pi}{4}+k2\pi \end{array} \right.\) ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=\frac{-\pi}{2}+ k2\pi\\x=\pi + k2\pi\end{array} \right.\)
vậy nghiệm của phương trình là x =\(\left[ \begin{array}{l}x=\frac{-\pi}{2}+ k2\pi\\x=\pi+ k2\pi \\ x= \frac{\pi}{4}+k2\pi\end{array} \right.\) (k ∈ Z)