so sánh : ( 3 + 1). (3^2 + 1). ( 3^4 + 1). ( 3^8 + 1) và 3^16 – 1

Đáp án:

\[\left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right).\left( {{3^8} + 1} \right) < {3^{16}} – 1\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = \left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right).\left( {{3^8} + 1} \right)\\
 \Rightarrow 2A = 2.\left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right).\left( {{3^8} + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2A = \left( {3 – 1} \right).\left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right).\left( {{3^8} + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2A = \left( {{3^2} – 1} \right).\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right).\left( {{3^8} + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2A = \left( {{3^4} – 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2A = \left( {{3^8} – 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2A = {3^{16}} – 1\\
 \Rightarrow A = \frac{{{3^{16}} – 1}}{2} < {3^{16}} – 1\\
 \Rightarrow \left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right).\left( {{3^8} + 1} \right) < {3^{16}} – 1
\end{array}\)