tam giác ABC có góc A tù các đường trung trực của AB AC cắt nhau tại M lần lượt cắt BC ở E và F Chứng minh AE là phân giác góc EAF
tam giác ABC có góc A tù các đường trung trực của AB AC cắt nhau tại M lần lượt cắt BC ở E và F Chứng minh AE là phân giác góc EAF
Vì E là điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB
nên $EA = EB$ (Tính chất một điểm thuộc đường trung trực của Δ)
⇒ ΔABE cân tại E (ĐN)
⇒ $\widehat{EAB} = \widehat{EBA}(T/c)$
Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{FAC} = \widehat{FCA}$
ΔABC có: đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại M
⇒ $MA = MB = MC$ (tính chất đường trung trực của Δ)
⇒ ΔMAB, ΔMAC, ΔMBC cân tại M (ĐN)
⇒ $\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$
$\widehat{MAC} = \widehat{MCA}$
$\widehat{MBC} = \widehat{MCB}$
Ta có: $\widehat{MAB} = \widehat{MAE} + \widehat{EAB}$ (Vì tia AE nằm giữa 2 tia AB và AM)
$\widehat{MBA} = \widehat{MBC} + \widehat{EBA}$ (Vì tia AF nằm giữa 2 tia AC và AM)
mà $\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$
$\widehat{EAB} = \widehat{EBA}$
⇒ $\widehat{MAE} = \widehat{MBC}$
Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{MAF} = \widehat{MCB}$
Mà $\widehat{MBC} = \widehat{MCB}$
⇒ $\widehat{OAE} = \widehat{OAF}$
Mà tia AM nằm giữa 2 tia AE và AF
Nên AM là tia phân giác của $\widehat{EAF}$