$\text{Cho a,b,c,d>0, hãy chứng minh:}$
$1< \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+c}$
$\text{Cho a,b,c,d>0, hãy chứng minh:}$
$1< \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+c}$
Đáp án:
`↓↓`
Giải thích các bước giải:
`+)`
$\text{Ta có : }$`a+b+c<a+b+c+d`
`=> a/(a+b+c)>a/(a+b+c+d)`
$\text{CM tương tự ta được : }$
`b/(b+c+d)>b/(a+b+c+d)`
`c/(c+d+a)>c/(a+b+c+d)`
`d/(d+a+b)>d/(a+b+c+d)`
$\text{Cộng vế theo vế ta được :}$
`a/(a+b+c)+b/(b+c+d)+c/(c+d+a)+d/(d+a+b)>a/(a+b+c+d)+b/(a+b+c+d)+c/(a+b+c+d)+d/(a+b+c+d)`
`>(a+b+c+d)/(a+b+c+d)=1`
`+)`
Vì `a,b,c,d>0`
`=> `
`a/(a+b+c)<1 => a/(a+b+c)<(a+d)/(a+b+c+d)`
`b/(b+c+d)<1 => b/(b+c+d)<(b+a)/(a+b+c+d)`
`c/(c+d+a)<1 => c/(c+d+a)<(c+b)/(a+b+c+d)`
`d/(d+a+b)<1 => d/(d+a+b)<(d+c)/(a+b+c+d)`
`=> a/(a+b+c)+b/(b+c+d)+c/(c+d+a)+d/(d+a+b)<(a+d)/(a+b+c+d)+(b+a)/(a+b+c+d)+(c+b)/(a+b+c+d)+(d+b)/(a+b+c+d)`
`<(a+d+b+a+c+b+d+c)/(a+b+c+d)=(2(a+b+c+d))/(a+b+c+d)=2`
`=> 1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+c}<2`
`=> đpcm`
Đáp án:
Ở dưới `downarrow`
Giải thích các bước giải:
`d>0`
`->a+b+c<a+b+c+d`
`->a/(a+b+c)>a/(a+b+c+d)`
Hoàn toàn tương tự:
`b/(b+c+d)>b/(a+b+c+d)`
`c/(c+d+a)>c/(a+b+c+d)`
`d/(a+b+c)>d/(a+b+c+d)`
`->a/(a+b+c)+b/(c+d+a)+c/(d+a+b)+d/(a+b+c)>(a+b+c+d)/(a+b+c+d)=1(1)`
`b>0`
`->a+c<a+b+c`
`->a/(a+b+c)<a/(a+c)`
Hoàn toàn tương tự:
`c/(c+d+a)<c/(a+c)`
`b/(b+c+d)<b/(b+d)`
`d/(d+a+b)<d/(b+d)`
`->a/(a+b+c)+b/(c+d+a)+c/(d+a+b)+d/(a+b+c)<1+1=2(2)`
Từ (1),(2)
`->1<a/(a+b+c)+b/(c+d+a)+c/(d+a+b)+d/(a+b+c)<2`
`cancel{nocopy//2072007}`