$\text_Đề này em để điểm cao mà chỉ có một câu hỏi duy nhất nên giúp em với ạ$
$\text_Cho (P) :Y = \frac{1}{2}x^{2} $
$\text_Cho (d) :Y = mx + 3 -m$
$\text_Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt . Gọi x_{1} , Gọi x_{2} lần lượt là hoàng độ của hai điểm A , B . Tìm m để Gọi x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 2x_{1}x_{2} +20$
Hoành độ giao điểm nghiệm của phương trình
`\frac{1}{2}x^2=mx+3-m`
`=>\frac{1}{2}x^2-mx-3+m=0`
`\Delta=m^2-4.(-3+m)=m^2-4m+12`
`=m^2-4m-4+8`
`=(m-2)^2+8>=8>0∀m`
`=>Delta>0∀m`
Vậy `(d)` và `(P)` luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Theo hệ thức vi-ét
$\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=-3+m\\\end{cases}$
Ta có `x_1^2+x_2^2=2x_1x_2+20`
`=>(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2-2x_1.x_2=20`
`=>m^2-4.(-3+m)=20`
`=>m^2-4m+12=20`
`=>m^2-4m-8=0`
`\Delta’=2^2+8=12`
`\sqrt{\Delta’}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}`
`m_1=2+2\sqrt{3}`
`m_2=2-2\sqrt{3}`
Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{array} \right.\) thì thõa mãn đầu bài
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
`1/2x^2=mx-m+3`
`<=>x^2=2mx-2m+6`
`<=>x^2-2mx+2m-6=0`
`Delta’=(-m)^2-(2m-6)`
`=m^2-2m+6`
`=(m-1)^2+5>0` với mọi `m`
`=>(P)` luôn cắt `(d)` tại hai điểm phân biệt.
Theo định lý Vi-ét, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-6\end{cases}$
Theo giả thiết:
`x_1^2+x_2^2=2x_1x_2+20`
`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=4x_1x_2+20`
`<=>(x_1+x_2)^2=4x_1x_2+20`
`<=>(2m)^2=4(2m-6)+20`
`<=>4m^2-8m+4=0`
`<=>4(m-1)^2=0`
`<=>m=1`
Vậy `m=1` là giá trị cần tìm.