tìm a và b biết x^3+ax+b chia cho x-1 dư 4khi chia cho x-5 thì dư 112
Giúp với
ĐỊnh lí bêru
tìm a và b biết x^3+ax+b chia cho x-1 dư 4khi chia cho x-5 thì dư 112 Giúp với ĐỊnh lí bêru
By Kennedy
By Kennedy
tìm a và b biết x^3+ax+b chia cho x-1 dư 4khi chia cho x-5 thì dư 112
Giúp với
ĐỊnh lí bêru
Đáp án:
$\text{$a=-4$ và $b=7$}$
Giải thích các bước giải:
$\text{Đặt: $f(x)=x^3+ax+b$ chia cho $x-1$ dư 4}$
$\text{Theo định lý Bezout suy ra: $f(1)=4$}$
$⇔ 1+a+b=4$
$⇔ a+b=3$ $(1)$
$\text{Ta có: $f(x)=x^3+ax+b$ chia cho $x-5$ dư 112}$
$\text{Theo định lý Bezout suy ra: $f(5)=112$}$
$⇔ 5^3+5a+b=112$
$⇔ 5a+b=-13$ $(2)$
$\text{Trừ (1) và (2) từng vế ta được: $a+b-(5a+b)=3-(-13)$}$
$⇔ -4a=16$
$⇔ a=-4$
$\text{Thay a vào (1) được: $b=7$}$
$\text{Vậy $a=-4$ và $b=7$}$
Định lý Bezout ??
Phát biểu định lý như sau: `P(x):(x-a)` dư `r ⇔ P(a)=r`
Đặt `x^3+ax+b=P(x)`
`P(x):(x-1)` dư `4`
`⇒P(1)=4`
`⇒1+a+b=4`
`⇒a+b=3` (1)
`P(x):(x-5)` dư `112`
`⇒P(5)=112 `
`⇒125+5a+b=112`
`⇒ 5a+b=-13` (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$\left \{ {{a+b=3} \atop {5a+b=-13}} \right.$
`⇔`$\left \{ {{a+b=3} \atop {5a+b-a-b=4a=-13-3=-16}} \right.$
`⇔`$\left \{ {{a+b=3} \atop {4a=-16}} \right.$
`⇔`$\left \{ {{-4+b=3} \atop {a=-4}} \right.$
`⇔`$\left \{ {{b=7} \atop {a=-4}} \right.$
Vậy đa thức `P(x)` có dạng `x^3-4x+7`