Tìm các bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn $x^{2} + 15^{y} = 2^{z}$ 20/09/2021 Bởi Margaret Tìm các bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn $x^{2} + 15^{y} = 2^{z}$
$x^{2}+15^{y}=2^{z}$ +) Xét $z$ lẻ Do $2\equiv -1(mod3)=>2^{z}\equiv -1(mod3)$ Mà $x^{2}\equiv 0,1(mod3),15^{y}\vdots 3=>VT\equiv 0,1(mod3)$ mâu thuẫn =>$z$ chẵn. Đặt $z=2k(k\epsilon \mathbb{N}^{*})$ $=>x^{2}+15^{y}=4^{k}$ Dễ dàng chứng minh được $x$ lẻ +) Xét $y$ chẵn $=>15^{y}\equiv 1(mod4)=>15^{y}+x^{2}\equiv 2(mod4)$ mâu thuẫn => $y$ lẻ Đặt $\left\{\begin{matrix}y=2m+1 \\ x=2t+1 \end{matrix}\right. (m,t\epsilon \mathbb{Z}^{+})$ => $(2t+1)^{2}+15^{2m+1}=4^{k}<=>4t(t+1)+(15^{2m+1}+1)=4^{k}<=>4t(t+1)+16(15^{2m}-15^{2m-1}+…+1)=4^{k}$ Do $15^{2m}-15^{2m-1}+…+1$ có $2m+1$ số $=> 15^{2m} -15^{2m-1}+…+1$ lẻ $=> 16(15^{2m} -15^{2m-1}+…+1) \vdots 16$ là ước chẵn lớn nhất +) Với $4t(t+1)\vdots 8$ là ước chẵn lớn nhất $=> t(t+1)+16(15^{2m}-15^{2m-1}+…+1)=4^{k}\vdots 8$ là ước chẵn lớn nhất Mâu thuẫn do $k=1 =>4^{k}$ không chia hết cho $8$ còn $k\geq 2=>4^{k}\vdots 16$ +) Với $4t(t+1)\vdots 16$ (hoặc hơn $16$) Mà $16(15^{2m} -15^{2m-1}+…+1) \vdots 16$ là ước chẵn lớn nhất $=>4^{k}\vdots 16$ là ước chẵn lớn nhất $=>4^{k}=16$ $=>x=y=1,z=4$ Bình luận
$x^{2}+15^{y}=2^{z}$
+) Xét $z$ lẻ
Do $2\equiv -1(mod3)=>2^{z}\equiv -1(mod3)$
Mà $x^{2}\equiv 0,1(mod3),15^{y}\vdots 3=>VT\equiv 0,1(mod3)$ mâu thuẫn
=>$z$ chẵn. Đặt $z=2k(k\epsilon \mathbb{N}^{*})$
$=>x^{2}+15^{y}=4^{k}$
Dễ dàng chứng minh được $x$ lẻ
+) Xét $y$ chẵn
$=>15^{y}\equiv 1(mod4)=>15^{y}+x^{2}\equiv 2(mod4)$ mâu thuẫn
=> $y$ lẻ
Đặt $\left\{\begin{matrix}y=2m+1 \\ x=2t+1 \end{matrix}\right. (m,t\epsilon \mathbb{Z}^{+})$
=> $(2t+1)^{2}+15^{2m+1}=4^{k}<=>4t(t+1)+(15^{2m+1}+1)=4^{k}<=>4t(t+1)+16(15^{2m}-15^{2m-1}+…+1)=4^{k}$
Do $15^{2m}-15^{2m-1}+…+1$ có $2m+1$ số $=> 15^{2m} -15^{2m-1}+…+1$ lẻ
$=> 16(15^{2m} -15^{2m-1}+…+1) \vdots 16$ là ước chẵn lớn nhất
+) Với $4t(t+1)\vdots 8$ là ước chẵn lớn nhất $=> t(t+1)+16(15^{2m}-15^{2m-1}+…+1)=4^{k}\vdots 8$ là ước chẵn lớn nhất
Mâu thuẫn do $k=1 =>4^{k}$ không chia hết cho $8$ còn $k\geq 2=>4^{k}\vdots 16$
+) Với $4t(t+1)\vdots 16$ (hoặc hơn $16$)
Mà $16(15^{2m} -15^{2m-1}+…+1) \vdots 16$ là ước chẵn lớn nhất $=>4^{k}\vdots 16$ là ước chẵn lớn nhất $=>4^{k}=16$ $=>x=y=1,z=4$