tìm các giá trị của x để P=(√x)+1:(√x)-1 nguyên

Đáp án:

$x = \left\{0;4;9\right\}$

Giải thích các bước giải:

$P = \dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x – 1}\qquad (x \geq 0)$

$\to P = \dfrac{\sqrt x – 1 + 2}{\sqrt x – 1}$

$\to P = 1 + \dfrac{2}{\sqrt x  – 1}$

Ta có:

$P \in \Bbb Z \Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt x – 1} \in \Bbb Z$

$\Leftrightarrow \sqrt x – 1 \in Ư(2) = \left\{-2;-1;1;2\right\}$

Ta lại có:

$\sqrt x \geq 0$

$\to \sqrt x – 1 \geq – 1$

$\to \sqrt x – 1 = \left\{-1;1;2\right\}$

Ta có bảng giá trị sau:

$\begin{array}{|l|r|}
\hline
\sqrt x – 1 & -1 & 1 &2\\
\hline
\,\,\,\sqrt x&0&2&3\\
\hline
\quad x&0&4&9\\
\hline
\end{array}$

Vậy $x = \left\{0;4;9\right\}$