Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 5.( x ² + xy + y ²) = 7.( x+2y ) 15/08/2021 Bởi Ivy Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 5.( x ² + xy + y ²) = 7.( x+2y )
Giải thích các bước giải: Ta thấy `x^2+xy+y^2=(x+y/2)^2+3/4y^2≥0AAx,y∈Z` `⇒x+2y≥0` Ta có: `5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)` `⇔5(4x^2+4xy+4y^2)=28(x+2y)` `⇔5[(x+2y)^2+3x^2]=28(x+2y)` Nếu `x≥2` hoặc `x≤-2` thì `x^2≥4` Áp dụng bất đẳng thức `Am-Gm` kết hợp `x+2y≥0,` ta có: `(x+2y)^2+3x^2≥2sqrt((x+2y)^2 .3x^2)=2(x+2y)sqrt(3x^2)` Mà `x^2≥4⇒(x+2y)^2+3x^2≥2(x+2y)^2sqrt12>6(x+2y)` `⇔5[(x+2y)^2+3x^2]>30(x+2y)>28(x+2y)` (vô lý) `=>-2<x<2⇒x∈{−1;0;1}` `=>(x,y)in{(−1,3),(0,0),(1,2)}.` Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta thấy `x^2+xy+y^2=(x+y/2)^2+3/4y^2≥0AAx,y∈Z`
`⇒x+2y≥0`
Ta có: `5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)`
`⇔5(4x^2+4xy+4y^2)=28(x+2y)`
`⇔5[(x+2y)^2+3x^2]=28(x+2y)`
Nếu `x≥2` hoặc `x≤-2` thì `x^2≥4`
Áp dụng bất đẳng thức `Am-Gm` kết hợp `x+2y≥0,` ta có:
`(x+2y)^2+3x^2≥2sqrt((x+2y)^2 .3x^2)=2(x+2y)sqrt(3x^2)`
Mà `x^2≥4⇒(x+2y)^2+3x^2≥2(x+2y)^2sqrt12>6(x+2y)`
`⇔5[(x+2y)^2+3x^2]>30(x+2y)>28(x+2y)` (vô lý)
`=>-2<x<2⇒x∈{−1;0;1}`
`=>(x,y)in{(−1,3),(0,0),(1,2)}.`