Tìm các số có 3 chữ số, sao cho hiệu của số cấy và gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại là 1 số chính phương
Tìm các số có 3 chữ số, sao cho hiệu của số cấy và gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại là 1 số chính phương
Đáp án:
`xyx`
Giải thích các bước giải:
Gọi số cần tìm là `xyz (x ≥ 1 ; x, y ≥ 0)`
`=>` Số viết ngược của `zyx` là `zyx (z ≥ 0; y, x ≥ 0)`
Ta có:
`xyz – zyx = k² (k ∈ NN)`
`=> (100x + 10y + z) – (100z + 10y + x) = k²`
`=> 100x + 10y + z – 100z – 10y – x = k²`
`=> 99x – 99z = k²`
`=> 9 . 11 . (x – z) = k²`
`=> 3^2 . 11 . (x – z) = k²`
Để `zyx` là số chính phương thì `11 . (x – z)` phải là số chính phương
`=> x – z = 11 . n² (n ∈ NN)`
`=> x – z` chia hết cho `11`
`=> x – z`
`=>` Các số thỏa mãn có dạng `xyx (x ≥ 1; y ≥ 0)`
Vậy các số thỏa mãn có dạng `xyx`
Gọi số cần tìm là xyz (x≥1;x,y≥0)xyz (x≥1;x,y≥0)
⇒⇒ Số viết ngược của zyxzyx là zyx (z≥0;y,x≥0)zyx (z≥0;y,x≥0)
Ta có:
xyz−zyx=k² (k∈N)xyz-zyx=k² (k∈ℕ)
⇒(100x+10y+z)−(100z+10y+x)=k²⇒(100x+10y+z)-(100z+10y+x)=k²
⇒100x+10y+z−100z−10y−x=k²⇒100x+10y+z-100z-10y-x=k²
⇒99x−99z=k²⇒99x-99z=k²
⇒9.11.(x−z)=k²⇒9.11.(x-z)=k²
⇒32.11.(x−z)=k²⇒32.11.(x-z)=k²
Để zyxzyx là số chính phương thì 11.(x−z)11.(x-z) phải là số chính phương
⇒x−z=11.n² (n∈N)⇒x-z=11.n² (n∈ℕ)
⇒x−z⇒x-z chia hết cho 1111
⇒x−z⇒x-z
⇒⇒ Các số thỏa mãn có dạng xyx (x≥1;y≥0)xyx (x≥1;y≥0)
Vậy các số thỏa mãn có dạng xyx