Tìm các số nguyên dương n sao cho n^4 + 2n^3 + 2n^2+n+7 là số chính phương

Tìm các số nguyên dương n sao cho n^4 + 2n^3 + 2n^2+n+7 là số chính phương

0 bình luận về “Tìm các số nguyên dương n sao cho n^4 + 2n^3 + 2n^2+n+7 là số chính phương”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Đặt $y=n^4+2n^3+2n^2+n+7  (y∈N)$

             $=(n^4+2n.n^2+n^2)+n^2+n+7$

             $=(n²+n)² +( n²+n+7)$ $⇔ y^2>(n^2+n)^2$

    $⇔ y>(n^2+n)$

    $⇔ y\geq(n^2+n)+1\geq(n^2+n+1)$

    $⇔ y^2\geq(n^2+n+1)$

    $⇔n^4+2n^3+2n^2+n+7≥n^4+n^2+1+2n^3+2n^3+2n$

    $⇔ n^2+n-6\leq0$

    $⇔ (n-2)(n+3)\leq0$

    $⇔\left[ \begin{array}{l}\left \{ {{n\geq2} \atop {n\leq-3}}⇒vn \right.\\\left \{ {{n\leq2} \atop {n\geq-3}}⇒-3\leq n\leq2 \right.\end{array} \right.$

     Thử từng trường hợp, ta thấy có $-3$ và $2$ thỏa mãn

    $⇒n={-3;2}$

    Bình luận
  2. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Đặt `y= n^4 + 2n^3 + 2n^2+n+7(y∈N)(1)`

    `=(n^4 +2n.n²+n²)+n²+n+7`

    `=(n²+n)² +( n²+n+7)`

    `⇒ y²>(n²+n)²`

    `⇒ y> (n²+n)`

    `⇒ y ≥ (n²+n)+1 ≥ (n²+n+1)`

    `⇒ y²≥ (n²+n+1)`

    `<=>n^4+2n³+2n²+n+7 ≥n^4+n²+1+2n³+2n²+2n`

    `⇔ n²+n-6<=0 `

    `⇔ (n-2).(n+3)<=0`

    `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}n-2≤0\\n+3≥0\end{cases}\\\begin{cases}n-2≥0\\n+3≤0\end{cases}\end{array} \right.\)

    `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}n≤2\\n≥-3\end{cases}(tm)\\\begin{cases}n≥2\\n≤-3\end{cases}(loại)\end{array} \right.\)

    `=>-3<=n<=2`

    `=>n in {-3;-2;-1;0;1;2}`

    Thay `n in {-3;-2;-1;0;1;2}` vào `(1)`

    `=>n=-3;2` thì `y` là scp

    Vậy `n=-3;2`

    Bình luận

Viết một bình luận