Tìm các số nguyên `x, y` để `x^2+x=3^2020y+1`

`x^2 + x = 3^(2020y) + 1`            

– Xét `y = 0`

`⇔ x^2 + x = 3^(2020.0) + 1`

`⇔ x^2 + x = 3^0 + 1`

`⇔ x^2 + x = 2`

`⇔ x^2 + x – 2 = 0`

`⇔ (x + 2)(x-1) = 0`

$\ ⇔ \left[ \begin{array}{l}x+2=0\\x-1=0\end{array} \right.$

$\ ⇔ \left[ \begin{array}{l}x=-2∈Z(TM)\\x=1∈Z(TM)\end{array} \right.$

– Xét `y \ne 0`

    + Nếu `y < 0`

`⇒ 3^(2020.y) + 1 ∉ Z` `(loại)`

    + Nếu `y > 0`

`⇒ 3^(2020y) \vdots 3 ∀ y ∈ Z` 

`⇒ 3^(2020y) + 1` chia `3` dư `1`        `(1)`

Nếu `x \vdots 3`

`⇒ x^2 + x \vdots 3`

Nếu `x` chia `3` dư `1`

`⇒ x^2 + x` chia `3` dư `2`

Nếu `x` chia `3` dư `2`

`⇒ x^2 + x \vdots 3`

Vậy `x^2 + x` không chia `3` dư `1` `∀ x ∈ Z`     `(2)`

ta thấy `(1)` và `(2)` mâu thuẫn nhau (loại)

Vậy `(x;y) ∈ {(-2;0),(1;0)}`