Tìm các số tự nhiên a,b,c phân biệt để P=$\frac{(ab−1)(bc−1)(ca−1)}{abc}$ nhận giá trị nguyên

0 bình luận về “Tìm các số tự nhiên a,b,c phân biệt để P=$\frac{(ab−1)(bc−1)(ca−1)}{abc}$ nhận giá trị nguyên”

1. Giải thích các bước giải:

   \(P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}=\frac{abc(abc-a-b-c)+(ab+bc+ca-1)}{abc}\)

   \(\Rightarrow ab+bc+ca-1\)  \(\vdots\)  \(abc\)

   Không mất tính tổng quát, giả sử \(a \geq b \geq c >0\)
   Ta có: \(abc<ab+bc+ca\)
   \(\Rightarrow abc<a(b+c)+bc \leq 2ab+b^2\)
   \(\Rightarrow ac<2a+b\leq 2a+a=3a\)

   \(\Rightarrow c<3 \Rightarrow c \in\) {\(1;2\)}
   TH1: với \(c=1 \Rightarrow ab+a+b-1\) \(\vdots\)  \(ab\)
   \(\Rightarrow a+b-1\) \(\vdots\)  \(ab\) \(\Rightarrow a+b-1 \geq ab\)

   \(\Rightarrow (a-1)(b-1) \le 0 \Rightarrow a \in N^*,b=1\)
   \(\Rightarrow P=0\)
   TH2: \(c=2 \Rightarrow ab+2a+2b-1\)  \(\vdots\)  \(2ab\)
   \(\Rightarrow 2a+2b-1 \geq ab\)
   \(\Rightarrow (a-2)(b-2) \leq 3\)
   \(\Rightarrow (a;b) \in\) {\((5;3),(4;3),(3;3),(n;2)\)} Với \(n \in N^*\) và \(n>2\) 
   \(\Rightarrow P=\) {\(21;\frac{385}{24};\frac{100}{9};n-1+\frac{3}{2}\)} Với \(n \in N^*\) và \(n>2\) 
   Vậy \((a;b;c)\)  cần tìm là \((n;1;1),(5;3;2)\) và các hoán vị  

   Bình luận