Tìm các số tự nhiên x,y thỏa mãn 2^x=y^2+6y+24

Phân tích 2^x =(y+3)²+15

TH1: x chẵn, suy ra x có dạng x = 2k

Ta có: (2^k+y+3)(2k−y−3)= 15 =1.15 =3.5

Vì 2^k+y+3 > 2^k−y−3 nên ta có TH sau:

+) 2^k+y+3=15

     2^k−y−3=1

Suy ra 2^k=16⇒k=4 và y = -2 (loại vì y là số tự nhiên)

+) 2^k+y+3=5,  tìm được k = 3 và y = y. Vậy x = 3 x 2 = 6 và y = 4.

     2^k−y−3=3

TH2: x lẻ thì x có dạng x = 2n + 1

Suy ra 2^x=2^(2n+1)=2.4^n=2.(3+1)^n

Vì (3+1)^n chia 3 dư 1, suy ra 2(3+1)^n chia 3 dư 2

Từ đó VT = 2^x−15 chia 3 dư 2

VP = (y+3)2(y+3)² chia 3 dư 0 hoặc 1 (vì mọi số chính phương đều chia 3 dư 0 hoặc 1)

Suy ra mâu thuẫn.

Vậy x = 6 và y = 4 là giá trị cần tìm.

Chúc bạn làm bài tốt với hướng dẫn trên nhé!