Ta thấy rằng các số có tận cùng là 7 khi lấy lũy thừa 1, 2, 3, 4, 5 có chữ số tận cùng là 7, 9, 3, 1, 7. Khi đó, nếu viết các chữ số tận cùng của $7^1, 7^2, 7^3, \dots$ thành một dãy thì ta có một dãy xoay vòng $7, 9, 3, 1, 7, 9, \dots$.
Vậy chữ số tận cùng của $777^{777}$ chính là chữ số thứ 777 trong dãy $7, 9, 3, 1, 7, \dots$.
Ta thấy vị trí $1, 5, 9, \dots, 4n+1$ trong dãy trên là 7. Mặt khác, lại có
Ta thấy rằng
$7^1 = 7, 7^2 = 49, 7^3 = 343, 7^4 = 2401, 7^5 = 16807$
Ta thấy rằng các số có tận cùng là 7 khi lấy lũy thừa 1, 2, 3, 4, 5 có chữ số tận cùng là 7, 9, 3, 1, 7. Khi đó, nếu viết các chữ số tận cùng của $7^1, 7^2, 7^3, \dots$ thành một dãy thì ta có một dãy xoay vòng $7, 9, 3, 1, 7, 9, \dots$.
Vậy chữ số tận cùng của $777^{777}$ chính là chữ số thứ 777 trong dãy $7, 9, 3, 1, 7, \dots$.
Ta thấy vị trí $1, 5, 9, \dots, 4n+1$ trong dãy trên là 7. Mặt khác, lại có
$777 = 194.4+1$
Do đó $777^{777}$ có tận cùng là 7.