Tìm giá trị lớn nhất của A = √x-2 + 2 × √x+1 + 2019 – x

ĐK: $x \geq 2$

Ta có

$A = -\dfrac{1}{2} [(x-2) – 2\sqrt{x-2}+1] – \dfrac{1}{2} [(x + 1) – 4\sqrt{x+1} + 4] + 2021$

$= -\dfrac{1}{2} [(\sqrt{x-2}-1)^2 + (\sqrt{x+1} – 2)^2] + 2021$

Lại có

$(\sqrt{x-2}-1)^2 + (\sqrt{x+1} – 2)^2 \geq 0$

$<-> -\dfrac{1}{2} [(\sqrt{x-2}-1)^2 + (\sqrt{x+1} – 2)^2] \leq 0$

$<-> -\dfrac{1}{2} [(\sqrt{x-2}-1)^2 + (\sqrt{x+1} – 2)^2] + 2021 \leq 2021$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x-2} – 1 = 0$ và $\sqrt{x+1} – 2 = 0$ hay $x = 3$

Vậy GTLN của A là 2021 đạt được khi $x = 3$