tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x^2/ (x^2-2x+2020).

0 bình luận về “tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x^2/ (x^2-2x+2020).”

1. Đáp án: `P_{max}=\frac{2020}{2019}⇔x=2020`

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt `P=\frac{x^2}{x^2-2x+2020}(x∈R)`

   -Nếu $x=0⇒P=0$

   -Nếu $x\neq0$

   `⇒\frac{1}{P}=\frac{x^2-2x+2020}{x^2}`

   `=1-\frac{2}{x}+\frac{2020}{x^2}`

   `=\frac{2019}{2020}+2020(\frac{1}{x^2}-2.\frac{1}{x}.\frac{1}{2020}+\frac{1}{2020^2})`

   `=\frac{2019}{2020}+2020(\frac{1}{x}-\frac{1}{2020})^2`

   Do `(\frac{1}{x}-\frac{1}{2020})^2≥0`

   `⇒2020(\frac{1}{x}-\frac{1}{2020})^2≥0`

   `⇒\frac{1}{P}=\frac{2019}{2020}+2020(\frac{1}{x}-\frac{1}{2020})^2≥\frac{2019}{2020}`

   `⇒P≤\frac{2020}{2019}`

   Dấu bằng xảy ra `⇔(\frac{1}{x}-\frac{1}{2020})^2=0`

   `⇔\frac{1}{x}-\frac{1}{2020}=0⇔\frac{1}{x}=\frac{1}{2020}⇔x=2020(tm)`

   So sánh cả $2$ trường hợp, ta được:

   `P_{max}=\frac{2020}{2019}⇔x=2020`

   Bình luận

2. Tham khảo:

   Đạt $P=$$\dfrac{x^2}{x^2-2x+2020}$

      ⇔$\dfrac{1}{P}=$$\dfrac{x^2-2x+2020}{x^2}$

   $P$ lớn nhất khi $\dfrac{1}{P}$ nhỏ nhất

   Tách

   $\dfrac{x^2-2x+2020}{x^2}=$$1-\dfrac{2}{x}+$$\dfrac{2020}{x^2}$

   Đặt $t=$$\dfrac{1}{x}$ $(x khác 0)$  

      ⇔$\dfrac{1}{P}=1-2t+2020t^2$

      ⇔$\dfrac{1}{p}=2020(t^2-2.$$\dfrac{1}{2}.t+$$\dfrac{1}{4})+$$\dfrac{2019}{2020}=2020.(t-$$\dfrac{1}{2})^2+$ $\dfrac{2019}{2020}≥$$\dfrac{2019}{2020}$ 

   ⇒$P≤$$\dfrac{2020}{2019}$

   Dấu ”=” xảy ra khi $x=2020$

   Học tốt      

   Bình luận