Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= sin$x^{4}$ +cos$x^{4}$ +sinx.cosx

0 bình luận về “Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= sin$x^{4}$ +cos$x^{4}$ +sinx.cosx”

1. Đáp án:

   \(Max = \dfrac{9}{8}\)

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   A = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + \sin x.\cos x\\
    = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x – 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x + \sin x.\cos x\\
    = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) – 2{\left( {\sin x.\cos x} \right)^2} – \sin x.\cos x\\
    = 1 – 2{\left( {\sin x.\cos x} \right)^2} – \sin x.\cos x\\
    =  – 2{\left( {\sin x.\cos x} \right)^2} – \sin x.\cos x + 1\\
    =  – \left[ {2{{\left( {\sin x.\cos x} \right)}^2} + 2.\sqrt 2 .\sin x.\cos x.\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{8} – \dfrac{9}{8}} \right]\\
    =  – {\left( {\sqrt 2 .\sin x.\cos x + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{9}{8}\\
   Do:{\left( {\sqrt 2 .\sin x.\cos x + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall x\\
    \to  – {\left( {\sqrt 2 .\sin x.\cos x + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \le 0\\
    \to  – {\left( {\sqrt 2 .\sin x.\cos x + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{9}{8} \le \dfrac{9}{8}\\
    \to Max = \dfrac{9}{8}\\
    \Leftrightarrow \sqrt 2 .\sin x.\cos x + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = 0\\
    \Leftrightarrow \sin x.\cos x =  – \dfrac{1}{4}\\
    \to \dfrac{{\sin 2x}}{2} =  – \dfrac{1}{4}\\
    \to \sin 2x =  – \dfrac{1}{2}\\
    \to \left[ \begin{array}{l}
   2x =  – \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\
   2x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi 
   \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\
    \to \left[ \begin{array}{l}
   x =  – \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\
   x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi 
   \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
   \end{array}\)

   Bình luận