Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: $H$ = $(3x-2y)^{2}$ – $(4y-6x)^{2}$ – $|xy-24|$

0 bình luận về “Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: $H$ = $(3x-2y)^{2}$ – $(4y-6x)^{2}$ – $|xy-24|$”

1. Đáp án:

   GTLN của $H$ là $0\Leftrightarrow (x;y)= (-4;-6)$ hoặc $(x;y)=(4;6)$

   Giải thích các bước giải:

   $\quad H = (3x-2y)^2 – (4y-6x)^2 – |xy – 24|$

   $\to H = (3x – 2y – 4y + 6x)(3x – 2y + 4y – 6x) – |xy -24|$

   $\to H = (9x-6y)(-3x + 2y) – |xy -24|$

   $\to H = -3(3x -2y)^2 – |xy – 24|$

   Ta có:

   $\quad \begin{cases}(3x – 2y)^2 \geqslant 0\quad \forall x,y\\|xy – 24|\geqslant 0\quad \forall x,y\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases} – 3(3x – 2y)^2\leqslant 0\\- |xy – 24|\leqslant 0\end{cases}$

   $\Leftrightarrow -3(3x -2y)^2 – |xy – 24| \leqslant 0$

   Hay $H \leqslant 0$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}3x – 2y = 0\\xy – 24 = 0\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}3x = 2y\\3xy = 72\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}3x = 2y\\2y^2 = 72\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}3x = 2y\\y = \pm 6\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = 4\\y = 6\end{cases}\\\begin{cases}x = -4\\y = -6\end{cases}\end{array}\right.$

   Vậy GTLN của $H$ là $0\Leftrightarrow (x;y)= (-4;-6)$ hoặc $(x;y)=(4;6)$

   Bình luận