Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau ( Áp dụng hằng đẳng thức )
A= -x^2 – 4x – 2
B= -2x^2 – 3x + 5
C= (2-x).(x+4)
D= -8x^2 + 4xy – y^2 + 3
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau ( Áp dụng hằng đẳng thức )
A= -x^2 – 4x – 2
B= -2x^2 – 3x + 5
C= (2-x).(x+4)
D= -8x^2 + 4xy – y^2 + 3
Đáp án:
a, Ta có :
`A = -x^2 – 4x – 2`
`= -(x^2 + 4x + 2)`
`= -(x^2 + 4x + 4 – 2)`
`= -(x + 2)^2 + 2 ≤ 2`
Dấu “=” xẩy ra
`<=> x + 2 = 0`
`<=> x = -2`
Vậy MaxA là `2 <=> x = -2`
b, Ta có :
`B = -2x^2 – 3x + 5`
`= -(2x^2 + 3x – 5)`
`= -2(x^2 + 3/2 x – 5/2)`
`= -2(x^2 + 2.x . 3/4 + 9/16 – 49/16)`
`= -2(x + 3/4)^2 + 49/8 ≤ 49/8`
Dấu “=” xẩy ra
`<=> x + 3/4 = 0`
`<=> x = -3/4`
Vậy MaxB là `49/8 <=> x = -3/4`
c, Ta có :
`C = (2 – x)(x + 4)`
` = 2x – x^2 + 8 – 4x`
`= -x^2 – 2x + 8`
`= -(x^2 + 2x – 8)`
`= -(x^2 + 2x + 1 – 9)`
`=-(x + 1)^2 + 9 ≤ 9`
Dấu “=” xẩy ra
`<=> x + 1 = 0`
`<=> x = -1`
Vậy MaxC là `9 <=> x = -1`
d, Ta có :
`D = -8x^2 + 4xy – y^2 + 3`
` = -4x^2 + 4xy – y^2 + 3 – 4x^2`
`= -(4x^2 – 4xy + y^2) + 3 – 4x^2`
`= -(2x – y)^2 – 4x^2 + 3 ≤ 3`
Dấu “=” xẩy ra
<=> $\left \{ {{2x – y = 0} \atop {x=0}} \right.$
<=> $\left \{ {{y=0} \atop {x=0}} \right.$
Vậy MaxD là `3 <=> x = y = 0`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
d. \(MaxD = 3\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a.A = – \left( {{x^2} + 4x + 2} \right)\\
= – \left( {{x^2} + 2.2.x + 4 – 2} \right)\\
= – {\left( {x + 2} \right)^2} + 2\\
Do:{\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x \in R\\
\to – {\left( {x + 2} \right)^2} \le 0\\
\to – {\left( {x + 2} \right)^2} + 2 \le 2\\
\to Max = 2\\
\Leftrightarrow x – 2 = 0\\
\Leftrightarrow x = 2\\
b.B = – \left( {2{x^2} + 3x – 5} \right)\\
= – \left( {2{x^2} + 2.x\sqrt 2 .\dfrac{3}{{2\sqrt 2 }} + {{\left( {\dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} – \dfrac{{49}}{8}} \right)\\
= – {\left( {x\sqrt 2 + \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{{49}}{8}\\
Do:{\left( {x\sqrt 2 + \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall x\\
\to – {\left( {x\sqrt 2 + \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \le 0\\
\to – {\left( {x\sqrt 2 + \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{{49}}{8} \le \dfrac{{49}}{8}\\
\to MaxB = \dfrac{{49}}{8}\\
\Leftrightarrow x\sqrt 2 + \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }} = 0\\
\Leftrightarrow x = – \dfrac{3}{4}\\
c.C = – {x^2} – 2x + 8\\
= – \left( {{x^2} + 2x – 8} \right)\\
= – \left( {{x^2} + 2x + 1 – 9} \right)\\
= – {\left( {x + 1} \right)^2} + 9\\
Do:{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\forall x\\
\to – {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\\
\to – {\left( {x + 1} \right)^2} + 9 \le 9\\
\to MaxC = 9\\
\Leftrightarrow x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = – 1\\
d.D = – \left( {8{x^2} – 4xy + {y^2} – 3} \right)\\
= – \left[ {{{\left( {2\sqrt 2 x} \right)}^2} – 2.2\sqrt 2 x.\dfrac{y}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{{{y^2}}}{2} + \dfrac{{{y^2}}}{2} – 3} \right]\\
= – {\left( {2\sqrt 2 x – \dfrac{y}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} – \dfrac{{{y^2}}}{2} + 3\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2\sqrt 2 x – \dfrac{y}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall x;y\\
\dfrac{{{y^2}}}{2} \ge 0\forall y
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
– {\left( {2\sqrt 2 x – \dfrac{y}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} \le 0\\
– \dfrac{{{y^2}}}{2} \le 0
\end{array} \right.\\
\to – {\left( {2\sqrt 2 x – \dfrac{y}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} – \dfrac{{{y^2}}}{2} \le 0\\
\to – {\left( {2\sqrt 2 x – \dfrac{y}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} – \dfrac{{{y^2}}}{2} + 3 \le 3\\
\to MaxD = 3\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt 2 x – \dfrac{y}{{\sqrt 2 }} = 0\\
\dfrac{{{y^2}}}{2} = 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
y = 0\\
x = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)