Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √3 sin x + cos x – 1 với x thuộc [0;π]

Đáp án:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{y_{\min }} =  – 2 \Leftrightarrow x = \pi \\
{y_{\max }} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3}
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
y = \sqrt 3 \sin x + \cos x – 1\\
 = 2.\left( {\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right) – 1\\
 = 2.\left( {\cos x.cos\dfrac{\pi }{3} + \sin x.\sin \dfrac{\pi }{3}} \right) – 1\\
 = 2.\cos \left( {x – \dfrac{\pi }{3}} \right) – 1\\
x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow  – \dfrac{\pi }{3} \le x – \dfrac{\pi }{3} \le \dfrac{{2\pi }}{3}\\
 \Rightarrow  – \dfrac{1}{2} \le \cos \left( {x – \dfrac{\pi }{3}} \right) \le 1\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_{\min }} = 2.\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) – 1 =  – 2 \Leftrightarrow x – \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \pi \\
{y_{\max }} = 2.1 – 1 = 1 \Leftrightarrow x – \dfrac{\pi }{3} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
{y_{\min }} =  – 2 \Leftrightarrow x = \pi \\
{y_{\max }} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3}
\end{array} \right.\)