Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y=2(sin^4x+cos^4x)-sinxcosx+5

Đáp án: $\dfrac{11}{2}\le y\le \dfrac{113}{16}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y=2(\sin^4x+\cos^4x)-\sin x\cos x+5$

$\to y=2(\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x)-4\sin^2x\cos^2x-\sin x\cos x+5$

$\to y=2(\sin^2x+\cos^2x)^2-(2\sin x\cos x)^2-\dfrac12\cdot 2\sin x\cos x+5$

$\to y=2\cdot 1^2-\sin^22x-\dfrac12\cdot \sin2x+5$

$\to y=-\sin^22x-\dfrac12\cdot \sin2x+7$

$\to y=-(\sin2x+\dfrac14)^2+\dfrac{113}{16}$

Mà $-1\le \sin2x\le 1$

$\to -\dfrac34\le \sin2x+\dfrac14\le \dfrac54$

$\to 0\le (\sin2x+\dfrac14)^2\le \dfrac{25}{16}$

$\to – \dfrac{25}{16}+\dfrac{113}{16}\le -(\sin2x+\dfrac14)^2+\dfrac{113}{16}\le 0+\dfrac{113}{16}$

$\to \dfrac{11}{2}\le y\le \dfrac{113}{16}$

$\to GTLN_y= \dfrac{113}{16}\to \sin2x+\dfrac14=0\to \sin2x=-\dfrac14$

Và $GTNN_y=\dfrac{11}{2}\to \sin2x=1$