Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y=2(sin^4x+cos^4x)-sinxcosx+5 05/08/2021 Bởi Kaylee Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y=2(sin^4x+cos^4x)-sinxcosx+5
Đáp án: $\dfrac{11}{2}\le y\le \dfrac{113}{16}$ Giải thích các bước giải: Ta có: $y=2(\sin^4x+\cos^4x)-\sin x\cos x+5$ $\to y=2(\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x)-4\sin^2x\cos^2x-\sin x\cos x+5$ $\to y=2(\sin^2x+\cos^2x)^2-(2\sin x\cos x)^2-\dfrac12\cdot 2\sin x\cos x+5$ $\to y=2\cdot 1^2-\sin^22x-\dfrac12\cdot \sin2x+5$ $\to y=-\sin^22x-\dfrac12\cdot \sin2x+7$ $\to y=-(\sin2x+\dfrac14)^2+\dfrac{113}{16}$ Mà $-1\le \sin2x\le 1$ $\to -\dfrac34\le \sin2x+\dfrac14\le \dfrac54$ $\to 0\le (\sin2x+\dfrac14)^2\le \dfrac{25}{16}$ $\to – \dfrac{25}{16}+\dfrac{113}{16}\le -(\sin2x+\dfrac14)^2+\dfrac{113}{16}\le 0+\dfrac{113}{16}$ $\to \dfrac{11}{2}\le y\le \dfrac{113}{16}$ $\to GTLN_y= \dfrac{113}{16}\to \sin2x+\dfrac14=0\to \sin2x=-\dfrac14$ Và $GTNN_y=\dfrac{11}{2}\to \sin2x=1$ Bình luận
Đáp án: $\dfrac{11}{2}\le y\le \dfrac{113}{16}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y=2(\sin^4x+\cos^4x)-\sin x\cos x+5$
$\to y=2(\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x)-4\sin^2x\cos^2x-\sin x\cos x+5$
$\to y=2(\sin^2x+\cos^2x)^2-(2\sin x\cos x)^2-\dfrac12\cdot 2\sin x\cos x+5$
$\to y=2\cdot 1^2-\sin^22x-\dfrac12\cdot \sin2x+5$
$\to y=-\sin^22x-\dfrac12\cdot \sin2x+7$
$\to y=-(\sin2x+\dfrac14)^2+\dfrac{113}{16}$
Mà $-1\le \sin2x\le 1$
$\to -\dfrac34\le \sin2x+\dfrac14\le \dfrac54$
$\to 0\le (\sin2x+\dfrac14)^2\le \dfrac{25}{16}$
$\to – \dfrac{25}{16}+\dfrac{113}{16}\le -(\sin2x+\dfrac14)^2+\dfrac{113}{16}\le 0+\dfrac{113}{16}$
$\to \dfrac{11}{2}\le y\le \dfrac{113}{16}$
$\to GTLN_y= \dfrac{113}{16}\to \sin2x+\dfrac14=0\to \sin2x=-\dfrac14$
Và $GTNN_y=\dfrac{11}{2}\to \sin2x=1$