tìm giá trị nguyên của m để hàm số y= (m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x+4 nghịch biến trên khoảng (-vô cùng, + vô cùng)
Help me
tìm giá trị nguyên của m để hàm số y= (m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x+4 nghịch biến trên khoảng (-vô cùng, + vô cùng)
Help me
Đáp án:
$\begin{array}{l}
y = \left( {{m^2} – 1} \right){x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} – x + 4\\
\Rightarrow y’ = 3.\left( {{m^2} – 1} \right).{x^2} + 2.\left( {m – 1} \right)x – 1
\end{array}$
Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$
Nên:
$\begin{array}{l}
y’ \le 0\left( {khi:x \in \left( { – \infty ; + \infty } \right)} \right)\\
\Rightarrow 3.\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x – 1 \le 0\left( * \right)\\
+ Khi:{m^2} – 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = – 1
\end{array} \right.\\
+ m = 1\,\left( * \right) \Rightarrow 0.{x^2} + 2.0.x – 1 \le 0\left( {tm} \right)\\
+ m = – 1\left( * \right) \Rightarrow 0.{x^2} – 2x – 1 \le 0\left( {ktm} \right)\\
+ Khi:m \ne 1;m \ne – 1\\
\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3.\left( {{m^2} – 1} \right) < 0\\
\Delta ‘ < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 1 < m < 1\\
{\left( {m – 1} \right)^2} – 3.\left( {{m^2} – 1} \right).\left( { – 1} \right) < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 1 < m < 1\\
{m^2} – 2m + 1 + 3{m^2} – 3 < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 1 < m < 1\\
4{m^2} – 2m – 2 < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 1 < m < 1\\
– \dfrac{1}{2} < m < 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow – \dfrac{1}{2} < m < 1\\
Vay\, – \dfrac{1}{2} < m \le 1
\end{array}$