tìm giá trị nhỏ nhất x^2-2xy+4y^2-2x-10y+3

Đáp án:

\[ – 10\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
B = {x^2} – 2xy + 4{y^2} – 2x – 10y + 3\\
 = \left( {{x^2} + {y^2} + 1 – 2xy – 2x + 2y} \right) + \left( {3{y^2} – 12y + 12} \right) – 10\\
 = {\left( { – x + y + 1} \right)^2} + 3{\left( {y – 2} \right)^2} – 10\\
{\left( { – x + y + 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\,{\left( {y – 2} \right)^2} \ge 0\\
 \Rightarrow B = {\left( { – x + y + 1} \right)^2} + 3{\left( {y – 2} \right)^2} – 10 \ge  – 10
\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
 – x + y + 1 = 0\\
y – 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2
\end{array} \right.\)

Vậy GTNN của biểu thức bằng \( – 10\)