tìm giá trị nhỏ nhất x^2-2xy+4y^2-2x-10y+3

0 bình luận về “tìm giá trị nhỏ nhất x^2-2xy+4y^2-2x-10y+3”

1. Đáp án:

   \[ – 10\]

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   B = {x^2} – 2xy + 4{y^2} – 2x – 10y + 3\\
    = \left( {{x^2} + {y^2} + 1 – 2xy – 2x + 2y} \right) + \left( {3{y^2} – 12y + 12} \right) – 10\\
    = {\left( { – x + y + 1} \right)^2} + 3{\left( {y – 2} \right)^2} – 10\\
   {\left( { – x + y + 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\,{\left( {y – 2} \right)^2} \ge 0\\
    \Rightarrow B = {\left( { – x + y + 1} \right)^2} + 3{\left( {y – 2} \right)^2} – 10 \ge  – 10
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
    – x + y + 1 = 0\\
   y – 2 = 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x = 3\\
   y = 2
   \end{array} \right.\)

   Vậy GTNN của biểu thức bằng \( – 10\)

   Bình luận

2.    x^2 – 2xy + 4y^2 – 2x – 10y + 3

   = x^2 – 2x(y + 1)+ (y + 1)^2 + 3y^2- 12y + 2

   = (x – y – 1)^2 + 3y^2 – 12y + 12 – 10

   = (x – y – 1)^2 + 3(y^2 – 4y + 4) – 10

   = (x – y – 1)^2 + 3(y – 2)^2 – 10

     Ta có:

       (x – y – 1)^2 >= 0

       3(y – 2)^2 >= 0

       (x – y – 1)^2 + 3(y – 2)^2 – 10 >= – 10

    Vậy GTNN của biểu thức là – 10 khi

           y – 2 = 0

           y      = 2

      x – y – 1 = 0

      x – 2 – 1 = 0

      x            = 3

    Học tốt nhé!

    

   Bình luận