tìm giá trị nhỏ nhất của A = x^3 +y^3 +2(xy)^2 biết x+y = 1 07/08/2021 Bởi Lyla tìm giá trị nhỏ nhất của A = x^3 +y^3 +2(xy)^2 biết x+y = 1
Đáp án: $MInA= \dfrac{1}{8}$ Giải thích các bước giải: Ta có: $x+y=1\rightarrow 1=(x+y)^2\ge 4xy\rightarrow xy\le \dfrac{1}{4}$ Lại có: $A=x^3+y^3+2(xy)^2$ $\rightarrow A=(x+y)^3-3xy(x+y)+2(xy)^2$$\rightarrow A=1-3xy+2(xy)^2$ $\rightarrow A=2(xy-\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{1}{8}$ Vì $xy\le \dfrac{1}{4}$ $\rightarrow xy-\dfrac{3}{4}\le -\dfrac{1}{2}$ $\rightarrow (xy-\dfrac{3}{4})^2 \ge \dfrac{1}{4}$ $\rightarrow A\ge \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}$ $\rightarrow A\ge \dfrac{1}{8}$ dấu = xảy ra khi $xy=\dfrac{1}{4}\rightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$ Bình luận
Gửi bạn !
Đáp án:
$MInA= \dfrac{1}{8}$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $x+y=1\rightarrow 1=(x+y)^2\ge 4xy\rightarrow xy\le \dfrac{1}{4}$
Lại có:
$A=x^3+y^3+2(xy)^2$
$\rightarrow A=(x+y)^3-3xy(x+y)+2(xy)^2$
$\rightarrow A=1-3xy+2(xy)^2$
$\rightarrow A=2(xy-\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{1}{8}$
Vì $xy\le \dfrac{1}{4}$
$\rightarrow xy-\dfrac{3}{4}\le -\dfrac{1}{2}$
$\rightarrow (xy-\dfrac{3}{4})^2 \ge \dfrac{1}{4}$
$\rightarrow A\ge \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}$
$\rightarrow A\ge \dfrac{1}{8}$
dấu = xảy ra khi $xy=\dfrac{1}{4}\rightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$