tìm giá trị nhỏ nhất của B= [4/(2-x)]+(1/x) với 0

22/08/2021 Bởi Bella

0 bình luận về “tìm giá trị nhỏ nhất của B= [4/(2-x)]+(1/x) với 0<x<2”

1. Đáp án:

   \[{B_{\min }} = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\]

   Giải thích các bước giải:

    Với \(x,y,a,b > 0\) ta có BĐT sau: \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\)

   Chứng minh:

   Áp dụng bất đẳng thức Bunhia – Copski ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \left( {\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b}} \right)\left( {a + b} \right) \ge {\left( {\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{a}} .\sqrt a  + \sqrt {\dfrac{{{y^2}}}{b}} .\sqrt b } \right)^2} = {\left( {x + y} \right)^2}\\
    \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)

   Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ta có:

   \(B = \dfrac{4}{{2 – x}} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{{2^2}}}{{2 – x}} + \dfrac{{{1^2}}}{x} \ge \dfrac{{{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}}{{\left( {2 – x} \right) + x}} = \dfrac{9}{2}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi: \(\dfrac{2}{{2 – x}} = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow 2x = 2 – x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

   Vậy \({B_{\min }} = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

   Bình luận