Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=$a^2 + ab + b^2 – 3a – 3b+2023$ 29/11/2021 Bởi Anna Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=$a^2 + ab + b^2 – 3a – 3b+2023$
`\quad M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2023` `=>4M=4a^2 +4ab+4b^2 -12a-12b+4.2023` `<=>4M=(a^2 -2ab+b^2)+(3a^2+3b^2+12+6ab-12a-12b)+4.2023-12` `<=>4M=(a-b)^2+3[a^2+b^2+(-2)^2+2ab-2.a.2-2.b.2]+4.2023-4.3` `<=>4M=(a-b)^2+3(a+b-2)^2+4.2020` `=>4M\ge 4.2020 \forall a,b` `=>M\ge 2020` Dấu “=” xảy ra khi: $\begin{cases}a-b=0\\a+b-2=0\end{cases}$ $⇔\begin{cases}a=b\\b+b=2\end{cases}$$ ⇔\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$ Vậy $GTNN$ của $M$ là $2020$ khi $a=b=1$ Bình luận
M=a²+ab+b²-3a-3b+2023 ⇒4M = (a2 – 2ab + b2 )+ 3(a2 + b2 + 4 + 2ab – 4a – 4b) +2011 ⇒4M=(a-b)²+3(a+b-2)²+2011≥2011 Dấu”=” xảy ra ⇔a=b=1 Bình luận
`\quad M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2023`
`=>4M=4a^2 +4ab+4b^2 -12a-12b+4.2023`
`<=>4M=(a^2 -2ab+b^2)+(3a^2+3b^2+12+6ab-12a-12b)+4.2023-12`
`<=>4M=(a-b)^2+3[a^2+b^2+(-2)^2+2ab-2.a.2-2.b.2]+4.2023-4.3`
`<=>4M=(a-b)^2+3(a+b-2)^2+4.2020`
`=>4M\ge 4.2020 \forall a,b`
`=>M\ge 2020`
Dấu “=” xảy ra khi:
$\begin{cases}a-b=0\\a+b-2=0\end{cases}$ $⇔\begin{cases}a=b\\b+b=2\end{cases}$$ ⇔\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$
Vậy $GTNN$ của $M$ là $2020$ khi $a=b=1$
M=a²+ab+b²-3a-3b+2023
⇒4M = (a2 – 2ab + b2 )+ 3(a2 + b2 + 4 + 2ab – 4a – 4b) +2011
⇒4M=(a-b)²+3(a+b-2)²+2011≥2011
Dấu”=” xảy ra ⇔a=b=1