Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=$a^2 + ab + b^2 – 3a – 3b+2023$

`\quad M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2023`

`=>4M=4a^2 +4ab+4b^2 -12a-12b+4.2023`

`<=>4M=(a^2 -2ab+b^2)+(3a^2+3b^2+12+6ab-12a-12b)+4.2023-12`

`<=>4M=(a-b)^2+3[a^2+b^2+(-2)^2+2ab-2.a.2-2.b.2]+4.2023-4.3`

`<=>4M=(a-b)^2+3(a+b-2)^2+4.2020`

`=>4M\ge 4.2020 \forall a,b`

`=>M\ge 2020`

Dấu “=” xảy ra khi:

$\begin{cases}a-b=0\\a+b-2=0\end{cases}$ $⇔\begin{cases}a=b\\b+b=2\end{cases}$$ ⇔\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$

Vậy $GTNN$ của $M$ là $2020$ khi $a=b=1$