Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $x^{2}$ + 2$y^{2}$ + 2xy – 6x – 8y + 2029
Giúp mình đi , mai mình còn thi nữa
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $x^{2}$ + 2$y^{2}$ + 2xy – 6x – 8y + 2029
Giúp mình đi , mai mình còn thi nữa
P = $x^{2}$ + 2$y^{2}$ + 2xy – 6x – 8y + 2029
= ($x^{2}$ + 2xy +2y) – 6(x + y) + ($y^{2}$ – 2y + 1 ) + 9 + 2019
= $(x+y)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ – 6(x + y) + 2019
= [$(x+y)^{2}$ – 6(x + y) + 9] + 2019
= $(x+y – 3)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ + 2019 $\geq$ 2019
do đó giá trị nhỏ nhất của P= 2019
⇔$\left \{ {{y-1=0} \atop {x+y-3=0}} \right.$
⇔$\left \{ {{y=1} \atop {x+y=3(biết y = 1)}} \right.$ $\left \{ {{y=1} \atop {x=2}} \right.$
Đáp án:$GTNN$ của $P = 2019 $ khi $x = 2; y = 1$
Giải thích các bước giải:
$ P = x² + 2y² + 2xy – 6x – 8y + 2029 $
$ = (x² + y² + 2xy) – 6(x + y) + 9 + (y² – 2y + 1) + 2019 $
$ = (x + y)² – 6(x + y) + 9 + (y² – 2y + 1) + 2019 $
$ = (x + y – 3)² + (y – 1)² + 2019 ≥ 2019$
Vậy $GTNN$ của $P = 2019$ khi đồng thời: $ x + y – 3 = y – 1 = 0 ⇔ x = 2; y = 1$