tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(X-2 căn X ) / (1 +căn X ) 18/10/2021 Bởi Sadie tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(X-2 căn X ) / (1 +căn X )
Ta có $P = \dfrac{x – 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{x + \sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 3 + 3}{\sqrt{x} + 1}$ $= \sqrt{x} – 3 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$ $= \sqrt{x} + 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} -4$ Áp dụng BĐT Cauchy ta có $(\sqrt{x} + 1) + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 1) . \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}} = 2\sqrt{3}$ $<-> P \geq 2\sqrt{3} – 4$ Dấu “=” xảy ra khi $(\sqrt{x} + 1)^2 = 3$ hay $\sqrt{x} + 1 = \sqrt{3}$ $<-> \sqrt{x} = \sqrt{3} – 1$ $<-> x = (\sqrt{3} – 1)^2$ $<-> x = 3 + 1 – 2\sqrt{3}$ $<->x = 4 – 2\sqrt{3}$ Vậy GTNN của $P$ là $2\sqrt{3} – 4$ khi $x = 4 – 2\sqrt{3}$. Bình luận
Ta có
$P = \dfrac{x – 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{x + \sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 3 + 3}{\sqrt{x} + 1}$
$= \sqrt{x} – 3 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$
$= \sqrt{x} + 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} -4$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$(\sqrt{x} + 1) + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x} + 1) . \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}} = 2\sqrt{3}$
$<-> P \geq 2\sqrt{3} – 4$
Dấu “=” xảy ra khi $(\sqrt{x} + 1)^2 = 3$ hay
$\sqrt{x} + 1 = \sqrt{3}$
$<-> \sqrt{x} = \sqrt{3} – 1$
$<-> x = (\sqrt{3} – 1)^2$
$<-> x = 3 + 1 – 2\sqrt{3}$
$<->x = 4 – 2\sqrt{3}$
Vậy GTNN của $P$ là $2\sqrt{3} – 4$ khi $x = 4 – 2\sqrt{3}$.