tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p=x^2/y^2+y^2/x^2-3(x/y+y/x)+5 (với x,y không bằng 0 và x,y cùng dấu) 01/09/2021 Bởi Amaya tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p=x^2/y^2+y^2/x^2-3(x/y+y/x)+5 (với x,y không bằng 0 và x,y cùng dấu)
`P=x^2/y^2+y^2/x^2-3(x/y+y/x)+5` `⇔P=(x/y)^2+2. x/y .y/x+ (y/x)^2-3(x/y+y/x)+3` `⇔P=(x/y/x)^2-3(x/y+y/x)+3` Đặt `a=x/y+y/x` Phương trình trở thành `P=a^2-3a+3` `⇔P=a^2-2.a. 3/2+9/4+3/4` `⇔P=(a-3/2)^2+3/4` Ta có: `(a-3/2)^2≥0∀x` `⇒(a-3/2)^2+3/4≥3/4` `⇔P≥3/4` `⇒`Min `P=3/4` Bình luận
$P = \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} – 3.\bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg) + 5$ $ = \bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg)^2-3\bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg) + 3$ Đặt $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = t.$ Khi đó ta có : $P = t^2-3t+3$ $= t^2-2.t.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}$ $ = \bigg(t-\dfrac{3}{2}\bigg)^2 + \dfrac{3}{4} ≥ \dfrac{3}{4}$ Dấu “=” xảy ra $⇔ t= \dfrac{3}{2} ⇔ x+y=\dfrac{3}{2}$ Vậy $P_{min} = \dfrac{3}{4}$ Bình luận
`P=x^2/y^2+y^2/x^2-3(x/y+y/x)+5`
`⇔P=(x/y)^2+2. x/y .y/x+ (y/x)^2-3(x/y+y/x)+3`
`⇔P=(x/y/x)^2-3(x/y+y/x)+3`
Đặt `a=x/y+y/x`
Phương trình trở thành
`P=a^2-3a+3`
`⇔P=a^2-2.a. 3/2+9/4+3/4`
`⇔P=(a-3/2)^2+3/4`
Ta có: `(a-3/2)^2≥0∀x`
`⇒(a-3/2)^2+3/4≥3/4`
`⇔P≥3/4`
`⇒`Min `P=3/4`
$P = \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} – 3.\bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg) + 5$
$ = \bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg)^2-3\bigg(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\bigg) + 3$
Đặt $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = t.$ Khi đó ta có :
$P = t^2-3t+3$
$= t^2-2.t.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}$
$ = \bigg(t-\dfrac{3}{2}\bigg)^2 + \dfrac{3}{4} ≥ \dfrac{3}{4}$
Dấu “=” xảy ra $⇔ t= \dfrac{3}{2} ⇔ x+y=\dfrac{3}{2}$
Vậy $P_{min} = \dfrac{3}{4}$