tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1/x + 1/1-x với 0

17/07/2021 Bởi Rylee

0 bình luận về “tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1/x + 1/1-x với 0<x<1”

1. Đáp án:

   \[{y_{\min }} = 4\]

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   y = \frac{1}{x} + \frac{1}{{1 – x}} = \frac{{1 – x + x}}{{x\left( {1 – x} \right)}} = \frac{1}{{ – {x^2} + x}}\\
    – {x^2} + x =  – \left( {{x^2} – x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} – {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{1}{4}\\
   0 < x < 1 \Rightarrow  – {x^2} + x = x\left( {1 – x} \right) > 0\\
    \Rightarrow 0 <  – {x^2} + x \le \frac{1}{4}\\
    \Rightarrow y = \frac{1}{{ – {x^2} + x}} \ge \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\)

   Bình luận

2. Đáp án:

   $Min_y=4$ khi $x=dfrac{1}{2}$

   Giải thích các bước giải:

    Áp dụng BĐT $Cauchuy-Schwars$ dạng $Engel$ , ta có :

   $y=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}$

   $y\geq \dfrac{1^2}{x}+\dfrac{1^2}{1-x}$

   $y\geq \dfrac{(1+1)^2}{x+1-x}$

   $y\geq \dfrac{2^2}{1}$

   $y\geq 4$

   Dấu $”=”$ xảy ra khi 

   $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1-x} \to 1-x=x \to x=\dfrac{1}{2}$

   Vậy $Min_y=4$ khi $x=\dfrac{1}{2}$

   Bình luận