Tìm giá trị thực cảu tham số m để cặp phương trình sau tương đương 2x^2+mx-2=0 (1) và 2x^3+(m+4)x^2+2(m-1)x-4=0 (2)
Tìm giá trị thực cảu tham số m để cặp phương trình sau tương đương 2x^2+mx-2=0 (1) và 2x^3+(m+4)x^2+2(m-1)x-4=0 (2)
Xét ptrinh
$(1) <-> 2x^2 + mx – 2 = 0$
Có $\Delta = m^2 +16 > 0$
Vậy ptrinh này luôn có 2 nghiệm phân biệt
$x = \dfrac{-m\pm \sqrt{m^2+16}}{4}$
Mặt khác, ta có
$(2) <-> 2x^3 + mx^2 – 2x + 2(2x^2 + mx – 2) = 0$
$<-> x(2x^2 + mx – 2) + 2(2x^2 + mx – 2) = 0$
$<-> (x+2)(2x^2 + mx – 2) = 0
Nghiệm của ptrinh này là -2 và $\dfrac{-m\pm \sqrt{m^2+16}}{4}$.
Để 2 ptrinh tương đương thì tập nghiệm của chúng phải trùng nhau.
Do đó một trong hai nghiệm của (1) phải bằng -2.
Vậy
$\dfrac{-m- \sqrt{m^2+16}}{4}=-2$
$<-> -m-\sqrt{m^2 + 16} = -8$
$<-> -\sqrt{m^2 + 16} = m-8$
$<-> \sqrt{m^2 + 16} = 8-m$
ĐK: $m \leq 8$. Bình phương 2 vế ta có
$m^2 + 16 = m^2 -16m + 64$
$<-> 16m = 48$
$<-> m = 3$
Vậy $m = 3$ thì 2 ptrinh tương đương.
Giải thích các bước giải:
Để hai phương trình đã cho tương đương thì:
$2x^3+(m+4)x^2+2(m-1)x-4=(ax+b)(2x^2+mx-2)$ và $x=\frac{-b}{a}$ là nghiệm của 2 phương trình đã cho
$(ax+b)(2x^2+mx-2)=2ax^3+(am+2b)x^2+(mb-2a)x-2b\\
2x^3+(m+4)x^2+2(m-1)x-4=(ax+b)(2x^2+mx-2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2a=2 & & \\
am+2b=m+4& & \\
mb-2a=2(m-1)& & \\
-2b=-4 & &
\end{matrix}\right.\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=1 & & \\
b=2 & &
\end{matrix}\right.$
$x=\frac{-b}{a}=-2$ là nghiệm:
$\Rightarrow 2.(-2)^2-2m-2=0\Rightarrow m=3$