Tìm GTLN-GTNN của phương trình sau: Asin^2(x)+Bsinxcosx+Ccos^2(x) 24/09/2021 Bởi Jasmine Tìm GTLN-GTNN của phương trình sau: Asin^2(x)+Bsinxcosx+Ccos^2(x)
Đáp án: $${1 \over 2}\left( {A + C – \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} } \right) \le M \le {1 \over 2}\left( {A + C + {B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \right)$$ Giải thích các bước giải: $$\eqalign{ & M = A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr & = A{{1 – \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}\sin 2x + C{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr & = {1 \over 2}\left( {A – A\cos 2x + B\sin 2x + C + C\cos 2x} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {B\sin 2x – \left( {A – C} \right)\cos 2x + A + C} \right) \cr & Ta\,\,co:\,\,\left| {B\sin 2x – \left( {A – C} \right)\cos 2x} \right| \le \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \cr & \Rightarrow – \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \le B\sin 2x – \left( {A – C} \right)\cos 2x \le {B^2} + {\left( {A – C} \right)^2} \cr & \Rightarrow A + C – \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \le B\sin 2x – \left( {A – C} \right)\cos 2x + A + C \le A + C + {B^2} + {\left( {A – C} \right)^2} \cr & \Rightarrow {1 \over 2}\left( {A + C – \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} } \right) \le M \le {1 \over 2}\left( {A + C + {B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \right) \cr} $$ Bình luận
Đáp án:
$${1 \over 2}\left( {A + C – \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} } \right) \le M \le {1 \over 2}\left( {A + C + {B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \right)$$
Giải thích các bước giải:
$$\eqalign{
& M = A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A{{1 – \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}\sin 2x + C{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {1 \over 2}\left( {A – A\cos 2x + B\sin 2x + C + C\cos 2x} \right) \cr
& = {1 \over 2}\left( {B\sin 2x – \left( {A – C} \right)\cos 2x + A + C} \right) \cr
& Ta\,\,co:\,\,\left| {B\sin 2x – \left( {A – C} \right)\cos 2x} \right| \le \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \cr
& \Rightarrow – \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \le B\sin 2x – \left( {A – C} \right)\cos 2x \le {B^2} + {\left( {A – C} \right)^2} \cr
& \Rightarrow A + C – \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \le B\sin 2x – \left( {A – C} \right)\cos 2x + A + C \le A + C + {B^2} + {\left( {A – C} \right)^2} \cr
& \Rightarrow {1 \over 2}\left( {A + C – \sqrt {{B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} } \right) \le M \le {1 \over 2}\left( {A + C + {B^2} + {{\left( {A – C} \right)}^2}} \right) \cr} $$