tìm gtln và gtnn của hàm số y = 3(3sinx+4cosx)^2 + 4(3sinx+4cosx)=1

Đáp án: $ -\dfrac{1}{3}\le y\le 96$

Giải thích các bước giải:

Gọi $\alpha$ là góc thỏa mãn $\cos\alpha=\dfrac35, \sin\alpha=\dfrac45$

Ta có:

$3\sin x+4\cos x=5\cdot (\dfrac35\cdot \sin x+\dfrac45\cdot \cos x)$

$\to 3\sin x+4\cos x=5\cdot (\cos\alpha\cdot \sin x+ \sin\alpha\cos x)$

$\to 3\sin x+4\cos x=5\cdot \sin(x+\alpha)$

$\to y=3\cdot (5\cdot \sin(x+\alpha))^2+4\cdot 5\cdot \sin(x+\alpha)+1$

$\to y=75\cdot\sin^2(x+\alpha)+20 \sin(x+\alpha)+1$

$\to y=75\left(\sin(x+\alpha)+\dfrac{2}{15}\right)^2-\dfrac{1}{3}$

Mà $-1\le \sin(x+\alpha)\le 1$

$\to -\dfrac{13}{15}\le \sin(x+\alpha)\le \dfrac{17}{15}$

$\to 0\le \sin^2(x+\alpha)\le (\dfrac{17}{15})^2$

$\to 0\le 75\sin^2(x+\alpha)\le \dfrac{289}{3}$

$\to -\dfrac{1}{3}\le 75\sin^2(x+\alpha)-\dfrac{1}{3}\le 96$

$\to -\dfrac{1}{3}\le y\le 96$