tìm gtln và gtnn của hàm số y = 3(3sinx+4cosx)^2 + 4(3sinx+4cosx)=1 27/11/2021 Bởi Parker tìm gtln và gtnn của hàm số y = 3(3sinx+4cosx)^2 + 4(3sinx+4cosx)=1
Đáp án: $ -\dfrac{1}{3}\le y\le 96$ Giải thích các bước giải: Gọi $\alpha$ là góc thỏa mãn $\cos\alpha=\dfrac35, \sin\alpha=\dfrac45$ Ta có: $3\sin x+4\cos x=5\cdot (\dfrac35\cdot \sin x+\dfrac45\cdot \cos x)$ $\to 3\sin x+4\cos x=5\cdot (\cos\alpha\cdot \sin x+ \sin\alpha\cos x)$ $\to 3\sin x+4\cos x=5\cdot \sin(x+\alpha)$ $\to y=3\cdot (5\cdot \sin(x+\alpha))^2+4\cdot 5\cdot \sin(x+\alpha)+1$ $\to y=75\cdot\sin^2(x+\alpha)+20 \sin(x+\alpha)+1$ $\to y=75\left(\sin(x+\alpha)+\dfrac{2}{15}\right)^2-\dfrac{1}{3}$ Mà $-1\le \sin(x+\alpha)\le 1$ $\to -\dfrac{13}{15}\le \sin(x+\alpha)\le \dfrac{17}{15}$ $\to 0\le \sin^2(x+\alpha)\le (\dfrac{17}{15})^2$ $\to 0\le 75\sin^2(x+\alpha)\le \dfrac{289}{3}$ $\to -\dfrac{1}{3}\le 75\sin^2(x+\alpha)-\dfrac{1}{3}\le 96$ $\to -\dfrac{1}{3}\le y\le 96$ Bình luận
Đáp án: $ -\dfrac{1}{3}\le y\le 96$
Giải thích các bước giải:
Gọi $\alpha$ là góc thỏa mãn $\cos\alpha=\dfrac35, \sin\alpha=\dfrac45$
Ta có:
$3\sin x+4\cos x=5\cdot (\dfrac35\cdot \sin x+\dfrac45\cdot \cos x)$
$\to 3\sin x+4\cos x=5\cdot (\cos\alpha\cdot \sin x+ \sin\alpha\cos x)$
$\to 3\sin x+4\cos x=5\cdot \sin(x+\alpha)$
$\to y=3\cdot (5\cdot \sin(x+\alpha))^2+4\cdot 5\cdot \sin(x+\alpha)+1$
$\to y=75\cdot\sin^2(x+\alpha)+20 \sin(x+\alpha)+1$
$\to y=75\left(\sin(x+\alpha)+\dfrac{2}{15}\right)^2-\dfrac{1}{3}$
Mà $-1\le \sin(x+\alpha)\le 1$
$\to -\dfrac{13}{15}\le \sin(x+\alpha)\le \dfrac{17}{15}$
$\to 0\le \sin^2(x+\alpha)\le (\dfrac{17}{15})^2$
$\to 0\le 75\sin^2(x+\alpha)\le \dfrac{289}{3}$
$\to -\dfrac{1}{3}\le 75\sin^2(x+\alpha)-\dfrac{1}{3}\le 96$
$\to -\dfrac{1}{3}\le y\le 96$