Tìm GTLN và GTNN của $y=4\sin^2x+6\cos^2x+8\sin x\cos x +1$ 22/07/2021 Bởi Brielle Tìm GTLN và GTNN của $y=4\sin^2x+6\cos^2x+8\sin x\cos x +1$
Đáp án: $\max y = 6 +\sqrt{17};\ \min y = 6 -\sqrt{17}$ Giải thích các bước giải: $\quad y = 4\sin^2x +6\cos^2x + 8\sin x\cos x +1$ $\to y = 2(1-\cos2x) + 3(1+\cos2x) + 4\sin2x + 1$ $\to y -6 = 4\sin2x + \cos2x$ Phương trình có nghiệm $\to 4^2 + 1^2 \geqslant (y-6)^2$ $\to (y-6)^2 \leqslant 17$ $\to -\sqrt{17} \leqslant y – 6\leqslant \sqrt{17}$ $\to 6 -\sqrt{17}\leqslant y \leqslant 6 +\sqrt{17}$ Vậy $\max y = 6 +\sqrt{17};\ \min y = 6 -\sqrt{17}$ Bình luận
Lời giải: $y=4\sin^2x+6\cos^2x+8\sin x\cos x +1$ $⇔y=4\sin 2x+\cos 2x+6$ $⇔y-6=4\sin 2x+\cos 2x$ Áp dụng bất đẳng thức Svacxơ có: $|y-6|=|4\sin 2x+\cos 2x|≤\sqrt{(4^2+1)(\sin^22x+\cos^22x)}=\sqrt {17}$ $⇒ y-6\in [-17;17] ⇒ y\in [6-\sqrt{17};6+\sqrt{17}]$ Dấu $”=”$ xảy ra khi $\tan 2x=4$ $\max y=6+\sqrt{17}$ $\min y=6-\sqrt{17}$ Bình luận
Đáp án:
$\max y = 6 +\sqrt{17};\ \min y = 6 -\sqrt{17}$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = 4\sin^2x +6\cos^2x + 8\sin x\cos x +1$
$\to y = 2(1-\cos2x) + 3(1+\cos2x) + 4\sin2x + 1$
$\to y -6 = 4\sin2x + \cos2x$
Phương trình có nghiệm
$\to 4^2 + 1^2 \geqslant (y-6)^2$
$\to (y-6)^2 \leqslant 17$
$\to -\sqrt{17} \leqslant y – 6\leqslant \sqrt{17}$
$\to 6 -\sqrt{17}\leqslant y \leqslant 6 +\sqrt{17}$
Vậy $\max y = 6 +\sqrt{17};\ \min y = 6 -\sqrt{17}$
Lời giải:
$y=4\sin^2x+6\cos^2x+8\sin x\cos x +1$
$⇔y=4\sin 2x+\cos 2x+6$
$⇔y-6=4\sin 2x+\cos 2x$
Áp dụng bất đẳng thức Svacxơ có:
$|y-6|=|4\sin 2x+\cos 2x|≤\sqrt{(4^2+1)(\sin^22x+\cos^22x)}=\sqrt {17}$
$⇒ y-6\in [-17;17] ⇒ y\in [6-\sqrt{17};6+\sqrt{17}]$
Dấu $”=”$ xảy ra khi $\tan 2x=4$
$\max y=6+\sqrt{17}$
$\min y=6-\sqrt{17}$