Tìm GTNN của:
a) $\frac{x^{2}+y^{2}}{y}$ (với y>0 và x-y=1)
b) $\frac{8}{x}$ +$\frac{3}{y}$ (với x,y>0 và 2x+3y=7)
c) (1-$\frac{1}{x^{2}}$)(1- $\frac{1}{y^{2}}$) (với x,y>0 và x+y=1)
Tìm GTNN của:
a) $\frac{x^{2}+y^{2}}{y}$ (với y>0 và x-y=1)
b) $\frac{8}{x}$ +$\frac{3}{y}$ (với x,y>0 và 2x+3y=7)
c) (1-$\frac{1}{x^{2}}$)(1- $\frac{1}{y^{2}}$) (với x,y>0 và x+y=1)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)$ y > 0; x – y = 1 ⇔ x = y + 1 > 1$
$ A = \dfrac{x² + y²}{y} = \dfrac{(y + 1)² + y²}{y}$
$ \dfrac{2y + 2y² + 1}{y} = 2 + 2y + \dfrac{1}{y}$
$ ≥ 2 + 2\sqrt{2y.\dfrac{1}{y}} = 2 + 2\sqrt{2}$
$ ⇒ GTNN$ của $A = 2 + 2\sqrt{2} ⇔ 2y + \dfrac{1}{y} $
$ ⇔ y = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1$
b)$x, y > 0 ; 7 = 2x + 3y > 0 (1)$
$ B = \dfrac{8}{x} + \dfrac{3}{y} (2)$
$(1).(2) : 7B = (2x + 3y)(\dfrac{8}{x} + \dfrac{3}{y})$
$ = 25 + \dfrac{6x}{y} + \dfrac{24y}{x}$
$ ≥ 25 + 2\sqrt{\dfrac{6x}{y}.\dfrac{24y}{x}} = 25 + 24 = 49$
$ ⇔ B ≥ 7$
$ ⇒ GTNN$ của $B = 7 ⇔ \dfrac{6x}{y} = \dfrac{24y}{x} $
$ ⇔ \dfrac{x²}{y²} = 4 ⇔ x = 2y ⇔ x = 2; y = 1$
c) $x, y > 0; x + y = 1$
$ C = (1 – \dfrac{1}{x²})(1 – \dfrac{1}{y²}) = \dfrac{(x² – 1)(y² – 1)}{x²y²} $
$ = \dfrac{(x – 1)(x + 1)(y – 1)(y + 1)}{x²y²} = \dfrac{(x + 1)(y + 1)}{xy} $
$ = \dfrac{xy + x + y + 1}{xy} = 1 + \dfrac{2}{xy} $
$ = 1 + \dfrac{8}{4xy} ≥ 1 + \dfrac{8}{(x + y)²} = 1 + \dfrac{8}{1²} = 9$
$ ⇒ GTNN$ của $C = 9 ⇔ x = y = \dfrac{1}{2} $