Tìm GTNN của biểu thức A= Căn x2-2x+1 + Căn (x-4)^2 + Căn (x-6)^2

Đáp án:

\[{A_{\min }} = 5 \Leftrightarrow x = 4\]

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối: 

\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(a,b\) cùng dấu.

Áp dụng đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| a \right| = \left| { – a} \right|\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = \sqrt {{x^2} – 2x + 1}  + \sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x – 6} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x – 6} \right)}^2}} \\
 = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 4} \right| + \left| {x – 6} \right|\\
 = \left( {\left| {x – 1} \right| + \left| {6 – x} \right|} \right) + \left| {x – 4} \right|\\
 \ge \left| {\left( {x – 1} \right) + \left( {6 – x} \right)} \right| + 0 = 5\\
 \Rightarrow {A_{\min }} = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 1} \right)\left( {6 – x} \right) > 0\\
x – 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4
\end{array}\)

Vậy \({A_{\min }} = 5 \Leftrightarrow x = 4\)