Toán Tìm GTNN của G=ab+bc+ca với a^2+b^2+c^2=1 05/07/2021 By Allison Tìm GTNN của G=ab+bc+ca với a^2+b^2+c^2=1
Ta có : $(a+b+c)^2 ≥ 0$ $⇔ 2.(ab+bc+ca) ≥ -(a^2+b^2+c^2) = -1 $ ( Vò $a^2+b^2+c^2 = 1$) $⇔G = ab+bc+ca ≥ \dfrac{-1}{2} $ Dấu “=” xảy ra $⇔a+b+c=0$ Vậy $G_{min} = \dfrac{-1}{2}$ tại $a+b+c=0$ Trả lời
Đáp án: \[{\left( {ab + bc + ca} \right)_{\min }} = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b + c = 0\] Giải thích các bước giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall a,b,c\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge – \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Rightarrow 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge – 1\\ \Rightarrow ab + bc + ca \ge – \frac{1}{2}\end{array}\) Vậy \({\left( {ab + bc + ca} \right)_{\min }} = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b + c = 0\) Trả lời
Ta có :
$(a+b+c)^2 ≥ 0$
$⇔ 2.(ab+bc+ca) ≥ -(a^2+b^2+c^2) = -1 $ ( Vò $a^2+b^2+c^2 = 1$)
$⇔G = ab+bc+ca ≥ \dfrac{-1}{2} $
Dấu “=” xảy ra $⇔a+b+c=0$
Vậy $G_{min} = \dfrac{-1}{2}$ tại $a+b+c=0$
Đáp án:
\[{\left( {ab + bc + ca} \right)_{\min }} = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b + c = 0\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall a,b,c\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge – \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\
\Rightarrow 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge – 1\\
\Rightarrow ab + bc + ca \ge – \frac{1}{2}
\end{array}\)
Vậy \({\left( {ab + bc + ca} \right)_{\min }} = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b + c = 0\)