tìm gtnn gtln của f=x+y căn 3 biết x ngũ hai + y ngũ hai = 1 Giải hộ

0 bình luận về “tìm gtnn gtln của f=x+y căn 3 biết x ngũ hai + y ngũ hai = 1 Giải hộ”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Chắc là $x² + y² = 1 (1)??$ Tùy chọn 1 trong 2 cách:

   Cách 1: Áp dụng $BĐT$ Bunhiacopsky:

   $ – \sqrt[]{(a² + b²)(c² + d²)} ≤ ac + bd ≤ \sqrt[]{(a² + b²)(c² + d²)} (*)$ 

   Dấu = xảy ra khi $ ad = bc$ . Áp dụng $(*)$ ta có :

   $ – \sqrt[]{(1² + \sqrt[]{3²})(x² + y²)} ≤ 1.x + \sqrt[]{3}.y ≤ \sqrt[]{(1² + \sqrt[]{3²})(x² + y²)} $ 

   $ ⇔ – 2 ≤ f ≤ 2$

   Vậy $ GTNN$ của $f = – 2 ⇔ 1.y = \sqrt[]{3}.x $ thay vào $(1):$

   $ 4x² = 1 ⇔ x = – \dfrac{1}{2}; y = – \dfrac{\sqrt[]{3}}{2};$ 

   $ GTLN$ của $f = 2 ⇔ 1.y = \sqrt[]{3}.x $ thay vào $(1):$

   $ 4x² = 1 ⇔ x = \dfrac{1}{2}; y = \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$ 

   Cách 2 : Áp dụng tính chất hàm sin và cosin

   $ x² + y² = 1 ⇔ x = cos\alpha; y = sin\alpha; \alpha ∈ [0; 2π]$

   $ f = x + \sqrt[]{3}y = 2(\dfrac{1}{2}cos\alpha + \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}sin\alpha) = 2cos(\alpha – \dfrac{π}{3})$

   Do $ – 1 ≤ cos(\alpha – \dfrac{π}{3}) ≤ 1 ⇔ – 2 ≤ f ≤ 2$

   Vậy $GTNN$ của $f = – 2 ⇔ cos(\alpha – \dfrac{π}{3}) = – 1 $

   $ ⇔ \alpha – \dfrac{π}{3} = π ⇔ \alpha = \dfrac{4π}{3}$

   $ ⇔ x = cos(\dfrac{4π}{3}) = – \dfrac{1}{2}; y = sin(\dfrac{4π}{3}) = – \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$ 

   $GTLN$ của $f = 2 ⇔ cos(\alpha – \dfrac{π}{3}) = 1 $

   $ ⇔ \alpha – \dfrac{π}{3} = 0 ⇔ \alpha = \dfrac{π}{3}$

   $ ⇔ x = cos(\dfrac{π}{3}) = \dfrac{1}{2}; y = sin(\dfrac{π}{3}) = \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$ 

   Bình luận