Tìm GTNN và GTLN của hàm số f(x)=2√(x-4)+√(8-x)

Đáp án:

GTNN $f(x)=2\Leftrightarrow x=4$

GTLN $f(x)=2\sqrt5\Leftrightarrow x=\dfrac{36}{5}$

Lời giải:

`2\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x}`

Xét Min

`(2\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x})^2`

`4(x-4)+2\sqrt{(x-4)(8-x)}+8-x`

`⇔3x-8+2\sqrt{(x-4)(8-x)}`

`⇔3(x-4)+4+2\sqrt{(x-4)(8-x)}`

Vì:

`3(x-4)≥0;2\sqrt{(x-4)(8-x)}\ge0`

`⇒3(x-4)+4+2\sqrt{(x-4)(8-x)}≥4`

`⇔\sqrt{3(x-4)+4+2\sqrt{(x-4)(8-x)}}≥2`

`⇒`Min `f(x)=2`

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow\begin{cases}3(x-4)=0\\2\sqrt{(x-4)(8-x)}=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow x=4$

Xét Max

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

`(ax+by)^2≤(a^2+b^2)(x^2+y^2)`

`⇔|ax+by|≤\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}`

`|2\sqrt{x-4}+1\sqrt{8-x}|=2\sqrt{x-4}+1\sqrt{8-x}≤\sqrt{(2^2+1^2)(x-4+8-x)}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}`

`⇒`Max `f(x)=2\sqrt{5}`

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac xa=\dfrac yb \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x-4}}2=\sqrt{8-x}$

$\Leftrightarrow x-4=4(8-x)\Leftrightarrow x=\dfrac{36}{5}$.