tìm họ nghiệm cua PT; sin x +cos x +sin x.cos x-1=0 08/08/2021 Bởi Amaya tìm họ nghiệm cua PT; sin x +cos x +sin x.cos x-1=0
Đáp án: \(\left[ \begin{array}{l}x=k.2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{array} \right.\) \((k \epsilon Z)\) Giải thích các bước giải: \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sin x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x)=\sqrt{2}(\sin x\cos \dfrac{\pi}{4}+\cos x.\sin \dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}.\sin (x+\dfrac{\pi}{4})\) Đặt \(t=\sin x+\cos x\) \((|t| \leq \sqrt{2})\) (Do \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi}{4}))\) \(t^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}=\sin^{2} x+2\sin x\cos x+\cos^{2} x=1+2\sin x\cos x\) \(\Leftrightarrow \sin x\cos x=\dfrac{t^{2}-1}{2}\) Ta có: \(\sin x+\cos x+\sin x.\cos x-1=0\) \(\Leftrightarrow t+\dfrac{t^{2}-1}{2}-1=0\) \(\Leftrightarrow t^{2}+2t-3=0\) \(\Leftrightarrow t=1\) (nhận); \(t=-3\) (loại) Với \(t=1\) thỏa \(|t| \leq \sqrt{2}\): \(\sqrt{2}.\sin (x+\dfrac{\pi}{4})=1\) \(\Leftrightarrow \sin (x+\dfrac{\pi}{4})=\sin \dfrac{\pi}{4}\) \(\Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k.2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x=k.2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{array} \right.\) \((k \epsilon Z)\) Bình luận
Đáp án: $\left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right. \quad (k \in \Bbb Z)$ Giải thích các bước giải: $\sin x + \cos x + \sin x\cos x – 1 = 0$ Đặt $t = \sin x + \cos x, \,|t| \leq \sqrt2$ $\Rightarrow t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x$ $\Rightarrow \dfrac{t^2 -1}{2} = \sin x\cos x$ Phương trình trở thành: $t + \dfrac{t^2 -1}{2} -1 = 0$ $\Leftrightarrow t^2 + 2t – 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = 1\\t = -3 \quad (loại)\end{array}\right.$ Ta được: $\sin x + \cos x = 1$ $\Leftrightarrow \sqrt2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ $\Leftrightarrow \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt2}{2}$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi\\x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right. \quad (k \in \Bbb Z)$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right. \quad (k \in \Bbb Z)$ Bình luận
Đáp án:
\(\left[ \begin{array}{l}x=k.2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{array} \right.\) \((k \epsilon Z)\)
Giải thích các bước giải:
\(\sin x+\cos x=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sin x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x)=\sqrt{2}(\sin x\cos \dfrac{\pi}{4}+\cos x.\sin \dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2}.\sin (x+\dfrac{\pi}{4})\)
Đặt \(t=\sin x+\cos x\) \((|t| \leq \sqrt{2})\) (Do \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi}{4}))\)
\(t^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}=\sin^{2} x+2\sin x\cos x+\cos^{2} x=1+2\sin x\cos x\)
\(\Leftrightarrow \sin x\cos x=\dfrac{t^{2}-1}{2}\)
Ta có: \(\sin x+\cos x+\sin x.\cos x-1=0\)
\(\Leftrightarrow t+\dfrac{t^{2}-1}{2}-1=0\)
\(\Leftrightarrow t^{2}+2t-3=0\)
\(\Leftrightarrow t=1\) (nhận); \(t=-3\) (loại)
Với \(t=1\) thỏa \(|t| \leq \sqrt{2}\):
\(\sqrt{2}.\sin (x+\dfrac{\pi}{4})=1\)
\(\Leftrightarrow \sin (x+\dfrac{\pi}{4})=\sin \dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k.2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x=k.2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{array} \right.\) \((k \epsilon Z)\)
Đáp án:
$\left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right. \quad (k \in \Bbb Z)$
Giải thích các bước giải:
$\sin x + \cos x + \sin x\cos x – 1 = 0$
Đặt $t = \sin x + \cos x, \,|t| \leq \sqrt2$
$\Rightarrow t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x$
$\Rightarrow \dfrac{t^2 -1}{2} = \sin x\cos x$
Phương trình trở thành:
$t + \dfrac{t^2 -1}{2} -1 = 0$
$\Leftrightarrow t^2 + 2t – 3 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = 1\\t = -3 \quad (loại)\end{array}\right.$
Ta được:
$\sin x + \cos x = 1$
$\Leftrightarrow \sqrt2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$
$\Leftrightarrow \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt2}{2}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi\\x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right. \quad (k \in \Bbb Z)$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[\begin{array}{l}x = k2\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right. \quad (k \in \Bbb Z)$