Tìm m để đường thẳng y=(2m-1)x +3 cách gốc tọa độ O(0,0) một khoảng bằng 1

Đáp án: $m=\dfrac{1\pm2\sqrt{2}}{2}$

Giải thích các bước giải:

Nếu $2m-1=0\to y=0\cdot x+3\to y=3$

$\to $Đường thẳng $y=3$ cách gốc tọa độ $O(0,0)$ một khoảng bằng $3$

$\to $Loại

$\to 2m-1\ne 0$

$\to (d): y=(2m-1)x+3$ giao $Ox$ tại $A(-\dfrac{3}{2m-1}, 0)$ và giao $Oy$ tại $B(0,3)$

Vì $A\in Ox, B\in Oy\to\Delta AOB$ vuông tại $O$

Kẻ $OH\perp AB$ tại $H$

Do $(d)$ cách $O$ một khoảng bằng $1\to OH=1$

Xét $\Delta OAB$ vuông tại $O, OH\perp AB$ tại $H$

$\to\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) 

$\to\dfrac{1}{1^2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{3}{2m-1}-0)^2+(0-0)^2}+\dfrac{1}{(0-0)^2+(3-0)^2}$

$\to 1=\dfrac{(2m-1)^2}{9}+\dfrac19$

$\to 9=(2m-1)^2+1$

$\to (2m-1)^2=8$

$\to 2m-1=\pm2\sqrt{2}$

$\to 2m=1\pm2\sqrt{2}$

$\to m=\dfrac{1\pm2\sqrt{2}}{2}$