Tìm m để hàm số y= $\frac{x^3}{3}$ +$2x^{2}$ – (2m-3)-$m^{2}$ đồng biến trên (2; +∞). Giải giúp mình với , sẵn tiện chỉ mình cách bấm máy tìm giá trị m nha!!)
Tìm m để hàm số y= $\frac{x^3}{3}$ +$2x^{2}$ – (2m-3)-$m^{2}$ đồng biến trên (2; +∞). Giải giúp mình với , sẵn tiện chỉ mình cách bấm máy tìm giá trị m nha!!)
Đáp án:
$m \leq \dfrac{15}{2}$
Giải thích các bước giải:
$y = \dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2 – (2m -3)x – m^2$
$TXD: D = R$
$y’ = x^2 + 4x – 2m + 3$
Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty)$
$\Leftrightarrow y’ \geq 0, \, \forall x \in (2;+\infty)$
$\Leftrightarrow x^2 + 4x – 2m + 3 \geq 0, \, \forall x \in (2;+\infty)$
$\Leftrightarrow m \leq \dfrac{x^2 + 4x + 3}{2}$
$\Leftrightarrow m \leq \mathop{\min}\limits_{x \in (2;+\infty)}\left(\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + \dfrac{3}{2}\right)$
Xét $g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + \dfrac{3}{2}$ trên $(2;+\infty)$
$\Rightarrow g'(x) = x + 2$
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 \not\in (2;+\infty)$
$\Rightarrow \min g(x) = g(2) = \dfrac{15}{2}$
Vậy $m \leq \dfrac{15}{2}$