Tìm m để hệ bất phương trình $\left \{ {{x^{2}-2x+1-m\leq0} \atop {x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m\leq0}} \right.$ có nghiệm

Đáp án:$ 0 ≤ m ≤ \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} $

Giải thích các bước giải:

Hệ BPT $ \left[ \begin{array}{l}x² – 2x + 1 – m ≤ 0\\x² – (2m + 1)x + m² + m ≤ 0\end{array} \right.$

$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}(x – 1)² ≤ m ( m ≥ 0) \\4x² – 4(2m + 1)x + 4m² + 4m ≤ 0\end{array} \right.$

$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}|x – 1| ≤ \sqrt{m} ( m ≥ 0) \\4x² – 4(2m + 1)x + (2m + 1)² ≤ 1\end{array} \right.$

$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}- \sqrt{m} ≤ x – 1 ≤ \sqrt{m}( m ≥ 0) \\ – 1 ≤ 2x – (2m + 1) ≤ 1\end{array} \right.$

$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}1 – \sqrt{m} ≤ x ≤ \sqrt{m} + 1( m ≥ 0) (1)\\ m ≤ x ≤ m + 1(2)\end{array} \right.$

Vì $ ∀m ≥ 0 ⇒ 1 – \sqrt{m} < m + 1  $

Nên từ $(1); (2) ⇒ $ để hệ vô nghiệm thì:

$[1 – \sqrt{m}; \sqrt{m} + 1]∩[m; m + 1] = ∅$

$ ⇔ \sqrt{m} + 1 < m ⇔ (\sqrt{m})² – \sqrt{m} – 1> 0$

$ ⇒ \sqrt{m} > \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ⇔ m > \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} $

Vậy hệ có nghiệm khi $: 0 ≤ m ≤ \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} $