TÌm m để hệ phương trình sau có nghiệm dương duy nhất 3x-y=1
5x-my=2
TÌm m để hệ phương trình sau có nghiệm dương duy nhất 3x-y=1
5x-my=2
Đề: $\begin{cases}3x-y=1\\5x-my=2\end{cases}$
Từ $3x-y=1\to y=3x-1$
Thay $y=3x-1$ vào $5x-my=2$, ta có:
$5x-m(3x-1)=2$
$↔5x-3mx+m=2$
$↔x(5-3m)=2-m$
$↔x=\dfrac{2-m}{5-3m}=\dfrac{m-2}{3m-5}$
Thay $x=\dfrac{m-2}{3m-5}$ vào $y=3x-1$, ta có:
$y=3·\dfrac{m-2}{3m-5}-1=\dfrac{3m-6}{3m-5}-1=\dfrac{-1}{3m-5}$
Hệ phương trình có nghiệm dương tức $x;y>0$
$x>0↔\dfrac{m-2}{3m-5}>0$
$↔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m-2<0\\3m-5<0\end{cases}\\\begin{cases}m-2>0\\3m-5>0\end{cases}\end{array} \right.↔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m<2\\m<\dfrac53\end{cases}\\\begin{cases}m>2\\m>\dfrac53\end{cases}\end{array} \right. \ (1)$
$y>0↔\dfrac{-1}{3m-5}>0$
Vì $-1<0$
$\to 3m-5<0$
$↔m<\dfrac53 \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)\to m<\dfrac53$
$\begin{cases} 3x – y = 1 \\ 5x – my = 2 \\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} y = 3x – 1 \\ 5x – m(3x – 1) = 2 \\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} y = 3x – 1 \\ 5x – 3mx + m = 2 \\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} y = 3x – 1 \\ x(5 – 3m) = 2 – m \\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} y = 3.\dfrac{2 – m}{5 – 3m} – 1 \\ x = \dfrac{2 – m}{5 – 3m} \\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} y = \dfrac{6 – 3m – 5 + 3m}{5 – 3m} \\ x = \dfrac{2 – m}{5 – 3m} \\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} y = \dfrac{1}{5 – 3m} \\ x= \dfrac{2 – m}{5 – 3m} \\\end{cases}$
Hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất hay $x > 0; y >0$
⇔ $\begin{cases} \dfrac{1}{5 – 3m} > 0 \\ \dfrac{2 – m}{5 – 3m} > 0 \\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} 5 – 3m > 0 \\ 2 – m > 0\\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} m < \dfrac{5}{3} \\ m < 2\\\end{cases}$
⇒ $m < \dfrac{5}{3}$