Tìm m để phương trình x^2 – mx + m – 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho S = (2.x1.x2+ 15) / (x1^2 + x2^2 + 2(x1.x2 + 1)) đạt GTNN
Tìm m để phương trình x^2 – mx + m – 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho S = (2.x1.x2+ 15) / (x1^2 + x2^2 + 2(x1.x2 + 1)) đạt GTNN
Đáp án: m=2
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
{x^2} – mx + m – 7 = 0\\
\Rightarrow \Delta > 0\\
\Rightarrow {m^2} – 4m + 28 > 0\\
\Rightarrow {m^2} – 4m + 4 + 24 > 0\\
\Rightarrow {\left( {m – 2} \right)^2} + 24 > 0\left( {luon\,dung} \right)\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\\
{x_1}{x_2} = m – 7
\end{array} \right.\\
S = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 15}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left( {m – 7} \right) + 15}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}\\
= \dfrac{{2\left( {m – 7} \right) + 15}}{{{m^2} + 2}}\\
\Rightarrow S.{m^2} + 2S = 2m + 1\\
\Rightarrow S.{m^2} – 2m + 2S – 1 = 0\\
\Rightarrow \Delta ‘ \ge 0\\
\Rightarrow 1 – S.\left( {2S – 1} \right) \ge 0\\
\Rightarrow 1 – 2{S^2} + S \ge 0\\
\Rightarrow 2{S^2} – S – 1 \le 0\\
\Rightarrow \left( {2S + 1} \right)\left( {S – 1} \right) \le 0\\
\Rightarrow – \dfrac{1}{2} \le S \le 1\\
\Rightarrow GTNN:S = – \dfrac{1}{2}\,khi:m = 2
\end{array}$