Tìm m để phương trình \[2sin^{3}(x) – 3sin^{2}(x) +(1-2m)sin(x)+2m = 0\] có 3 nghiệm thuộc [0;pi]

Đáp án:

$-\dfrac{1}{16}<m<\dfrac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

Đặt $sinx=t$, $x∈[0;pi] → t∈[0;1]$

Để phương trình có $3$ nghiệm thuộc $[0;\pi]$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}sinx=\dfrac{\pi}{2}\\sinx \neq \dfrac{\pi}{2}\end{array} \right.$ (Xét trên $[0;\pi]$)

$↔ \left\{ \begin{array}{l}t=1\\0≤t<1\end{array} \right.$

Chia đa thức bằng lược đồ $\text{Horner}$, ta có:

$2t^3-3t^2+(1-2m)t+2m=0 ↔ (t-1)(2t^2-t-2m)=0$

Yêu cầu bài toán tương đương pt $2t^2-t-2m$ có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn:

$0≤t_1<t_2<1$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}Δ>0\\(t_1-1)(t_2-1)>0\end{array} \right.$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}1+16m>0\\-m-\dfrac{1}{2}+1>0\end{array} \right.$

$↔ -\dfrac{1}{16}<m<\dfrac{1}{2}$