Tìm `m` để phương trình có 4 nghiệm phân biệt `x^4 – (3m-2)x^2 + 3m-3=0` 24/07/2021 Bởi Jade Tìm `m` để phương trình có 4 nghiệm phân biệt `x^4 – (3m-2)x^2 + 3m-3=0`
Đáp án: `m>1` và `m\ne 4/3` Giải thích các bước giải: `\qquad x^4-(3m-2)x^2+3m-3=0` (*) Đặt `t=x^2` `(t\ge 0)` (*)`<=>t^2-(3m-2)t+3m-3=0` $(1)$ `\qquad a=1;b=-(3m-2);c=3m-3` `∆=b^2-4ac=[-(3m-2)]^2-4.1.(3m-3)` `=9m^2-12m+4-12m+12` `=9m^2-24m+16=(3m-4)^2` Để (*) có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm dương phân biệt `<=>`$\begin{cases}∆>0\\t_1+t_2=\dfrac{-b}{a}>0\\t_1.t_2=\dfrac{c}{a}>0\end{cases}$ `<=>`$\begin{cases}(3m-4)^2>0\\3m-2>0\\3m-3>0\end{cases}$ `<=>`$\begin{cases}3m-4\ne 0\\3m>2\\3m>3\end{cases}$ `<=>`$\begin{cases}m\ne \dfrac{4}{3}\\m>\dfrac{2}{3}\\m>1\end{cases}$ `=>m>1` và `m\ne 4/ 3` Vậy `m>1` và `m\ne 4/ 3` thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt Bình luận
Phương trình: `x^{4}-(3m-2)^{2}+3m-3=0` Đặt `x^{2}=t (t>= 0)` Khi đó: `t^{2}-(3m-2)t+3m-3=0` (*) `(a=1; b=-(3m-2); c=3m-3)` `Δ = b^{2}-4ac` `=[-(3m-2)]²-4.1.(3m-3)` `=(3m-2)^{2}-12m+12` `=9m^{2}-12m+4-12m+12` `=9m^{2}-24m+16 ` `=(3m-4)^{2}` Để phương trình có `4` nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dượng phân biệt: $\begin{cases} Δ>0\\t_{1}+t_{2}>0\\t_{1}.t_{2}>0 \end{cases}$`<=>` $\begin{cases} (3m-4)^{2}>0 \\3m-2>0\\3m-3>0 \end{cases}$`<=>` $\begin{cases} 3m-4\neq0\\3m>2\\3m>3 \end{cases}$`<=>` $\begin{cases} m\neq4/3 \\m>2/3\\m>1 \end{cases}$ Vậy với `m>1` và `m\ne4/3` thì phương trình có 4 nghiệm dương phân biệt Bình luận
Đáp án:
`m>1` và `m\ne 4/3`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^4-(3m-2)x^2+3m-3=0` (*)
Đặt `t=x^2` `(t\ge 0)`
(*)`<=>t^2-(3m-2)t+3m-3=0` $(1)$
`\qquad a=1;b=-(3m-2);c=3m-3`
`∆=b^2-4ac=[-(3m-2)]^2-4.1.(3m-3)`
`=9m^2-12m+4-12m+12`
`=9m^2-24m+16=(3m-4)^2`
Để (*) có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm dương phân biệt
`<=>`$\begin{cases}∆>0\\t_1+t_2=\dfrac{-b}{a}>0\\t_1.t_2=\dfrac{c}{a}>0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}(3m-4)^2>0\\3m-2>0\\3m-3>0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}3m-4\ne 0\\3m>2\\3m>3\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m\ne \dfrac{4}{3}\\m>\dfrac{2}{3}\\m>1\end{cases}$
`=>m>1` và `m\ne 4/ 3`
Vậy `m>1` và `m\ne 4/ 3` thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt
Phương trình: `x^{4}-(3m-2)^{2}+3m-3=0`
Đặt `x^{2}=t (t>= 0)`
Khi đó: `t^{2}-(3m-2)t+3m-3=0` (*) `(a=1; b=-(3m-2); c=3m-3)`
`Δ = b^{2}-4ac`
`=[-(3m-2)]²-4.1.(3m-3)`
`=(3m-2)^{2}-12m+12`
`=9m^{2}-12m+4-12m+12`
`=9m^{2}-24m+16 `
`=(3m-4)^{2}`
Để phương trình có `4` nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm dượng phân biệt:
$\begin{cases} Δ>0\\t_{1}+t_{2}>0\\t_{1}.t_{2}>0 \end{cases}$
`<=>` $\begin{cases} (3m-4)^{2}>0 \\3m-2>0\\3m-3>0 \end{cases}$
`<=>` $\begin{cases} 3m-4\neq0\\3m>2\\3m>3 \end{cases}$
`<=>` $\begin{cases} m\neq4/3 \\m>2/3\\m>1 \end{cases}$
Vậy với `m>1` và `m\ne4/3` thì phương trình có 4 nghiệm dương phân biệt