Tìm m để pt sau: $(m-2)x^{2}$ + 3(m-2)x – $m^{2}$ – 2m + 3 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu

Đáp án:

\[m \in \left( { – 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\]

Giải thích các bước giải:

 Phương trình \(a\,{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(ac < 0\)

Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\left( {m – 2} \right)\left( { – {m^2} – 2m + 3} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m – 2} \right)\left( {{m^2} + 2m – 3} \right) > 0\\
TH1:\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
m – 2 > 0\\
{m^2} + 2m – 3 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m <  – 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\\
TH2:\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
m – 2 < 0\\
{m^2} + 2m – 3 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
\left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
 – 3 < m < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow  – 3 < m < 1
\end{array}\)

Vậy \(m \in \left( { – 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)