Tìm m để pt sau: $(m-2)x^{2}$ + 3(m-2)x – $m^{2}$ – 2m + 3 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu

0 bình luận về “Tìm m để pt sau: $(m-2)x^{2}$ + 3(m-2)x – $m^{2}$ – 2m + 3 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu”

1. Đáp án:

   \[m \in \left( { – 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\]

   Giải thích các bước giải:

    Phương trình \(a\,{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(ac < 0\)

   Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

   \(\begin{array}{l}
   \left( {m – 2} \right)\left( { – {m^2} – 2m + 3} \right) < 0\\
    \Leftrightarrow \left( {m – 2} \right)\left( {{m^2} + 2m – 3} \right) > 0\\
   TH1:\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
   m – 2 > 0\\
   {m^2} + 2m – 3 > 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m > 2\\
   \left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right) > 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m > 2\\
   \left[ \begin{array}{l}
   m > 1\\
   m <  – 3
   \end{array} \right.
   \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\\
   TH2:\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
   m – 2 < 0\\
   {m^2} + 2m – 3 < 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m < 2\\
   \left( {m – 1} \right)\left( {m + 3} \right) < 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m < 2\\
    – 3 < m < 1
   \end{array} \right. \Leftrightarrow  – 3 < m < 1
   \end{array}\)

   Vậy \(m \in \left( { – 3;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

   Bình luận

2. điều kiện $m\neq2$

   $Δ=9(m-2)^2-4(m-2)(3-2m)$

   $=9(m^2-4m+4)-4(-2m^2+7m-6)$

   $=17m^2-64m+60$

   để có $2$ nghiệm trái dấu thì $Δ>0⇔\left[ \begin{array}{l}m<\dfrac{30}{17}\\m>2\end{array} \right.$

   điều kiện đủ là $P<0⇔\dfrac{-m^2-2m+3}{m-2}<0⇔m∈(-3;1)∪(2;+∞)$

   kết hợp đk cần $⇒ m∈(-3;1)∪(2;+∞)$

    

   Bình luận